Completion isomorphism < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | K quadratisches Zahlkörper, p [mm] \in \IN [/mm] eine Primzahl, die zerlegt in K ist. Falls [mm] \mathfrak{p}\subset\mathcal{O} [/mm] ein Ideal mit Norm p ist im Ganzheitsring [mm] \mathcal{O} [/mm] von K, dann zeige, dass die "Verfollständigung" (completion) [mm] \hat{\mathcal{O}} [/mm] von [mm] \mathcal{O} [/mm] bezüglich [mm] \mathfrak{p} [/mm] isomorph ist zum Ring der p-adischen ganzen Zahlen [mm] \IZ_{p} [/mm] |
Hallo Leute
Dies ist eine weitere Aufgabe, die ich zu lösen versuche.. ich habe mal aufgeschrieben, was ich zu wissen glaube, komme damit aber nicht wirklich weiter... hier mal was ich hab:
K = [mm] \IQ(\sqrt{m}). [/mm] Da p zerlegt ist, folgt [mm] p\nmid [/mm] m (oder [mm] p\nmid [/mm] 4m, aber daraus folgt auch [mm] p\nmid [/mm] m).
Was man auch weiss, [mm] \exists [/mm] 2 Ideale [mm] \mathfrak{p}_{1},\mathfrak{p}_{2}, [/mm] so dass [mm] p\mathcal{O} [/mm] = [mm] \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}. [/mm]
- p = 2 [mm] \Rightarrow \left(\frac{m}{p}\right) [/mm] = 1 (Legendre-Symbol)
- p [mm] \neq [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] p = 1 (mod 8)
Jetzt sei [mm] \mathfrak{p}\subset\mathcal{O} [/mm] ein Ideal von Norm p. Dann kann ich schreiben:
[mm] \hat{\mathcal{O}} [/mm] := [mm] \lim\limits_{\leftarrow}\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}
[/mm]
[mm] \IZ_{p} [/mm] := [mm] \lim\limits_{\leftarrow} \IZ/\mathfrak{p}^{n}
[/mm]
Und jetzt...? Kann ich nun irgendwie weitermachen oder bringt das alles nix?
Wäre froh um jeden Tipp :)
Grüsse, Amaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> K quadratisches Zahlkörper, p [mm]\in \IN[/mm] eine Primzahl, die
> zerlegt in K ist. Falls [mm]\mathfrak{p}\subset\mathcal{O}[/mm] ein
> Ideal mit Norm p ist im Ganzheitsring [mm]\mathcal{O}[/mm] von K,
> dann zeige, dass die "Verfollständigung" (completion)
Vervollständigung. :)
> [mm]\hat{\mathcal{O}}[/mm] von [mm]\mathcal{O}[/mm] bezüglich [mm]\mathfrak{p}[/mm]
> isomorph ist zum Ring der p-adischen ganzen Zahlen [mm]\IZ_{p}[/mm]
>
> Dies ist eine weitere Aufgabe, die ich zu lösen versuche..
> ich habe mal aufgeschrieben, was ich zu wissen glaube,
> komme damit aber nicht wirklich weiter... hier mal was ich
> hab:
>
> K = [mm]\IQ(\sqrt{m}).[/mm] Da p zerlegt ist, folgt [mm]p\nmid[/mm] m (oder
> [mm]p\nmid[/mm] 4m, aber daraus folgt auch [mm]p\nmid[/mm] m).
> Was man auch weiss, [mm]\exists[/mm] 2 Ideale
> [mm]\mathfrak{p}_{1},\mathfrak{p}_{2},[/mm] so dass [mm]p\mathcal{O}[/mm] =
> [mm]\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}.[/mm]
>
> - p = 2 [mm]\Rightarrow \left(\frac{m}{p}\right)[/mm] = 1
> (Legendre-Symbol)
> - p [mm]\neq[/mm] 2 [mm]\Rightarrow[/mm] p = 1 (mod 8)
>
> Jetzt sei [mm]\mathfrak{p}\subset\mathcal{O}[/mm] ein Ideal von Norm
> p.
Woraus folgt: [mm] $\mathcal{O} [/mm] / [mm] \mathfrak{p} \cong \IZ [/mm] / p [mm] \IZ$.
[/mm]
> Dann kann ich schreiben:
>
> [mm]\hat{\mathcal{O}}[/mm] :=
> [mm]\lim\limits_{\leftarrow}\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}[/mm]
> [mm]\IZ_{p}[/mm] := [mm]\lim\limits_{\leftarrow} \IZ/\mathfrak{p}^{n}[/mm]
Du meinst [mm]\IZ_{p}[/mm] := [mm]\lim\limits_{\leftarrow} \IZ/p^{n}[/mm] (ohne das mathfrak).
Schau dir doch mal die Abbildungen [mm] $\varphi_n [/mm] : [mm] \IZ/p^n \to \mathcal{O}/\mathfrak{p}^n$ [/mm] an; diese sind Ringhomomorphismen (weil der Kern von [mm] $\IZ \to \mathcal{O}/\mathfrak{p}^n$ [/mm] u.a. [mm] $p^n$ [/mm] enthaelt, da [mm] $|\mathcal{O}/\mathfrak{p}^n| [/mm] = [mm] Norm(\mathfrak{p}^n) [/mm] = [mm] Norm(\mathfrak{p})^n [/mm] = [mm] p^n$ [/mm] ist).
Diese [mm] $\varphi_n$ [/mm] sind Abbildungen zwischen gleichmaechtigen endlichen Mengen; insb. sind sie genau dann injektiv, wenn sie surjektiv sind. Weiterhin vertragen sie sich mit den Projektionen [mm] $\IZ/p^{n+1}\IZ \to \IZ/p^n\IZ$ [/mm] und [mm] $\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n+1} \to \mathcal{O}/\mathfrak{p}^n$, [/mm] womit sie einen Ringhomomorphismus [mm] $\varprojlim \IZ/p^n \to \varprojlim \mathcal{O}/\mathfrak{p^n}$ [/mm] induzieren; sind alle [mm] $\varphi_n$ [/mm] bijektiv (was der Fall ist, falls sie injektiv oder surjektiv sind), so ist dies ein Isomorphismus.
Du musst also zeigen, dass [mm] $\varphi_n$ [/mm] fuer alle $n$ injektiv (oder surjektiv) ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:06 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey Felix!
> Moin Amaro!
>
> > K quadratisches Zahlkörper, p [mm]\in \IN[/mm] eine Primzahl, die
> > zerlegt in K ist. Falls [mm]\mathfrak{p}\subset\mathcal{O}[/mm] ein
> > Ideal mit Norm p ist im Ganzheitsring [mm]\mathcal{O}[/mm] von K,
> > dann zeige, dass die "Verfollständigung" (completion)
>
> Vervollständigung. :)
Oh.. da muss ich mich aber was schämen.. :D
>
> > [mm]\hat{\mathcal{O}}[/mm] von [mm]\mathcal{O}[/mm] bezüglich [mm]\mathfrak{p}[/mm]
> > isomorph ist zum Ring der p-adischen ganzen Zahlen [mm]\IZ_{p}[/mm]
> >
> > Dies ist eine weitere Aufgabe, die ich zu lösen versuche..
> > ich habe mal aufgeschrieben, was ich zu wissen glaube,
> > komme damit aber nicht wirklich weiter... hier mal was ich
> > hab:
> >
> > K = [mm]\IQ(\sqrt{m}).[/mm] Da p zerlegt ist, folgt [mm]p\nmid[/mm] m (oder
> > [mm]p\nmid[/mm] 4m, aber daraus folgt auch [mm]p\nmid[/mm] m).
> > Was man auch weiss, [mm]\exists[/mm] 2 Ideale
> > [mm]\mathfrak{p}_{1},\mathfrak{p}_{2},[/mm] so dass [mm]p\mathcal{O}[/mm] =
> > [mm]\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}.[/mm]
> >
> > - p = 2 [mm]\Rightarrow \left(\frac{m}{p}\right)[/mm] = 1
> > (Legendre-Symbol)
> > - p [mm]\neq[/mm] 2 [mm]\Rightarrow[/mm] p = 1 (mod 8)
> >
> > Jetzt sei [mm]\mathfrak{p}\subset\mathcal{O}[/mm] ein Ideal von Norm
> > p.
>
> Woraus folgt: [mm]\mathcal{O} / \mathfrak{p} \cong \IZ / p \IZ[/mm].
Gut, dann brauche ich p= 2 bzw. p [mm] \neq [/mm] 2 gar nicht separat anzuschauen, ja?
>
> > Dann kann ich schreiben:
> >
> > [mm]\hat{\mathcal{O}}[/mm] :=
> > [mm]\lim\limits_{\leftarrow}\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}[/mm]
> > [mm]\IZ_{p}[/mm] := [mm]\lim\limits_{\leftarrow} \IZ/\mathfrak{p}^{n}[/mm]
>
> Du meinst [mm]\IZ_{p}[/mm] := [mm]\lim\limits_{\leftarrow} \IZ/p^{n}[/mm]
> (ohne das mathfrak).
Ich dacht schon, da wär was faul.. anderseits wäre das ganze ein bisschen komisch.. :)
>
> Schau dir doch mal die Abbildungen [mm]\varphi_n : \IZ/p^n \to \mathcal{O}/\mathfrak{p}^n[/mm]
> an; diese sind Ringhomomorphismen (weil der Kern von [mm]\IZ \to \mathcal{O}/\mathfrak{p}^n[/mm]
> u.a. [mm]p^n[/mm] enthaelt, da [mm]|\mathcal{O}/\mathfrak{p}^n| = Norm(\mathfrak{p}^n) = Norm(\mathfrak{p})^n = p^n[/mm]
> ist).
>
> Diese [mm]\varphi_n[/mm] sind Abbildungen zwischen gleichmaechtigen
> endlichen Mengen; insb. sind sie genau dann injektiv, wenn
> sie surjektiv sind.
Gut, das sehe ich ein.. macht auch vollkommen Sinn :)
> Weiterhin vertragen sie sich mit den
> Projektionen [mm]\IZ/p^{n+1}\IZ \to \IZ/p^n\IZ[/mm] und
> [mm]\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n+1} \to \mathcal{O}/\mathfrak{p}^n[/mm],
> womit sie einen Ringhomomorphismus [mm]\varprojlim \IZ/p^n \to \varprojlim \mathcal{O}/\mathfrak{p^n}[/mm]
> induzieren; sind alle [mm]\varphi_n[/mm] bijektiv (was der Fall ist,
> falls sie injektiv oder surjektiv sind), so ist dies ein
> Isomorphismus.
Was meinst du genau mit "vertragen sie sich"? Ich stelle mich gerade ein geschlossenes Diagramm vor..
>
> Du musst also zeigen, dass [mm]\varphi_n[/mm] fuer alle [mm]n[/mm] injektiv
> (oder surjektiv) ist.
Gut, das werde ich machen/versuchen.. danke für den Tipp! (Ich denke, Surjektivität ist hier einfacher.. kann das sein? Da ich für die Injektivität mit dem Kern nciht viel aussagen kann..)
>
> LG Felix
>
Liebe Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 11.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Bitte,letzten Beitrag auf "reagiert" stellen :)
Also, ich würde nun gerne alles nochmals aufschreiben, bis zu dem Punkt an dem ich festsitze.. es wäre sehr nett, könnte jemand mal drüber schauen:
Sei p eine primzahl, zerlegt in K (Das brauche ich in den folgenden Zeilen irgendwie nie.. vielleicht kann ich was damit machen..?)
[mm] \mathfrak{p} [/mm] ein Ideal von Norm p, woraus folgt: [mm] \mathcal{O}/\mathfrak{p} \cong \IZ/p\IZ (\*)
[/mm]
Die Vervollständigung von [mm] \mathcal{O} [/mm] ist [mm] \hat{\mathcal{O}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{\leftarrow}{\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}}
[/mm]
Die p-adischen ganzen Zahlen sind [mm] \IZ_{p} [/mm] = [mm] \lim\limits_{\leftarrow}{\IZ/p^{n}}
[/mm]
[mm] \overset{(\*)}{\Rightarrow} |\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}| [/mm] = [mm] |\IZ/p^{n}| \forall [/mm] n [mm] (\*\*)
[/mm]
Nun, definiere [mm] \varphi_{n}: \IZ/p^{n} \to \mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n} [/mm] ein Ringhomomorphismus.
Wegen [mm] (\*\*), [/mm] reicht für die bijektivität, nur surjektivität oder injektivität zu zeigen. Ist dies [mm] \forall [/mm] n erfüllt, so ist schliesslich [mm] \varphi: \IZ_{p} \to \hat{\mathcal{O}}, [/mm] wie das folgende Diagramm zeigt:
... ...
[mm] \downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow
[/mm]
[mm] \IZ/p^{n+1} \overset{\varphi_{n+1}}{\rightarrow} \mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n+1}
[/mm]
[mm] \downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow
[/mm]
[mm] \IZ/p^{n} \overset{\varphi_{n}}{\rightarrow} \qquad \mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}
[/mm]
[mm] \downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow [/mm]
... ...
Gut, nun versuche ich, die Injektivität zu zeigen. Hierfür nehme ich das Gegenteil an, und versuche einen Wiederspruch zu erhalten.
(Im folgenden bezeichne [mm] \mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n} [/mm] =: O, [mm] \IZ/p^{n} [/mm] =: Z)
Sei also x [mm] \in ker(\varphi_{n}) \Rightarrow \varphi(x) [/mm] = [mm] e_{O}
[/mm]
Ich habe 2 Möglichkeiten
- [mm] \varphi_{n} [/mm] ist die Nullabbildung.. das ist aber nicht sehr interessant.
- [mm] \varphi_{n} [/mm] ist nicht die Nullabbildung. Das bedeutet, [mm] \exists [/mm] mindestens ein x' [mm] \in [/mm] Z, s.d [mm] \varphi_{n}(x') \neq e_{O}. [/mm]
Betrachte aber weiterhin x [mm] \in ker(\varphi_{n}). [/mm] Ist x eine Einheit in Z, so folgt (Kern ist Ideal), dass Z [mm] \mapsto e_{O}, [/mm] was implizieren würde, dass [mm] \varphi_{n} [/mm] die Nullabbildung ist.. das haben wir aber ausgeschlossen....
Nehme also an, x sei keine Einheit in Z.
Hier stecke ich fest.. wie kann ich weitermachen? Bzw, ist das bisher überhaupt richtig so?
Viele Grüsse und vielen Dank!
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Di 11.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bitte,letzten Beitrag auf "reagiert" stellen :)
>
> Also, ich würde nun gerne alles nochmals aufschreiben, bis
> zu dem Punkt an dem ich festsitze.. es wäre sehr nett,
> könnte jemand mal drüber schauen:
>
> Sei p eine primzahl, zerlegt in K (Das brauche ich in den
> folgenden Zeilen irgendwie nie.. vielleicht kann ich was
> damit machen..?)
> [mm]\mathfrak{p}[/mm] ein Ideal von Norm p, woraus folgt:
> [mm]\mathcal{O}/\mathfrak{p} \cong \IZ/p\IZ (\*)[/mm]
Du brauchst, dass $p$ zerlegt ist, damit es ein solches Ideal [mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] gibt.
> Die Vervollständigung von [mm]\mathcal{O}[/mm] ist
> [mm]\hat{\mathcal{O}}[/mm] =
> [mm]\lim\limits_{\leftarrow}{\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}}[/mm]
> Die p-adischen ganzen Zahlen sind [mm]\IZ_{p}[/mm] =
> [mm]\lim\limits_{\leftarrow}{\IZ/p^{n}}[/mm]
>
> [mm]\overset{(\*)}{\Rightarrow} |\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}|[/mm]
> = [mm]|\IZ/p^{n}| \forall[/mm] n [mm](\*\*)[/mm]
>
>
> Nun, definiere [mm]\varphi_{n}: \IZ/p^{n} \to \mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}[/mm]
> ein Ringhomomorphismus.
>
> Wegen [mm](\*\*),[/mm] reicht für die bijektivität, nur
> surjektivität oder injektivität zu zeigen. Ist dies
> [mm]\forall[/mm] n erfüllt, so ist schliesslich [mm]\varphi: \IZ_{p} \to \hat{\mathcal{O}},[/mm]
> wie das folgende Diagramm zeigt:
Der Satz ist nicht vollstaendig. Was ist [mm] $\varphi$ [/mm] dann? Meinst du bijektiv? (Nur) aus dem Diagramm folgt das zumindest nicht.
> ... ...
> [mm]\downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow[/mm]
>
> [mm]\IZ/p^{n+1} \overset{\varphi_{n+1}}{\rightarrow} \mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow[/mm]
>
> [mm]\IZ/p^{n} \overset{\varphi_{n}}{\rightarrow} \qquad \mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}[/mm]
>
> [mm]\downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow[/mm]
> ... ...
>
>
> Gut, nun versuche ich, die Injektivität zu zeigen.
> Hierfür nehme ich das Gegenteil an, und versuche einen
> Wiederspruch zu erhalten.
>
> (Im folgenden bezeichne [mm]\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{n}[/mm] =: O,
> [mm]\IZ/p^{n}[/mm] =: Z)
>
> Sei also x [mm]\in ker(\varphi_{n}) \Rightarrow \varphi(x)[/mm] =
> [mm]e_{O}[/mm]
>
> Ich habe 2 Möglichkeiten
>
> - [mm]\varphi_{n}[/mm] ist die Nullabbildung.. das ist aber nicht
> sehr interessant.
Das kann auch gar nicht sein, da [mm] $\varphi_n(1) [/mm] = 1$ ist.
Du musst dir ueberlegen, wie [mm] $\IZ \cap \mathfrak{p}^n$ [/mm] aussieht (das ist naemlich der Kern von [mm] $\varphi_n$!). [/mm] Kann dies echt groesser sein als [mm] $p^n \IZ$?
[/mm]
Mal angenommen, es gibt ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $p^{n-1} \in \mathfrak{p}^n$. [/mm] (Das ist aequivalent dazu, dass [mm] $\mathfrak{p^n} \cap \IZ \supsetneqq p^n \IZ$ [/mm] ist.) Sei $n$ minimal mit dieser Eigenschaft, d.h. es gelte [mm] $p^{n-i-1} \not\in \mathfrak{p}^{n-i}$ [/mm] fuer alle $i [mm] \ge [/mm] 1$. Vielleicht kannst du damit einen Widerspruch hinbekommen?
Hattet ihr schon gezeigt, dass die Elemente in [mm] $\mathfrak{a} \mathfrak{b}$ [/mm] von der Form $a b$ mit $a [mm] \in \mathfrak{a}$, [/mm] $b [mm] \in \mathfrak{b}$ [/mm] sind? (Dies gilt nicht in allgemeinen Ringen!)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo
> Du musst dir ueberlegen, wie [mm]\IZ \cap \mathfrak{p}^n[/mm]
> aussieht (das ist naemlich der Kern von [mm]\varphi_n[/mm]!). Kann
> dies echt groesser sein als [mm]p^n \IZ[/mm]?
Naja, intuitiv eigentlich nicht.. aber ich sage das aus den falschen gründen. [mm] |\mathfrak{p}^{n}| [/mm] < [mm] \infty, [/mm] somit auch [mm] \mathbb{Z}\cap\mathfrak{p}^{n}... [/mm] aber [mm] p^{n}\mathbb{Z} [/mm] ist unendlich..
Oder sehe ich was falsch?
>
> Mal angenommen, es gibt ein [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]p^{n-1} \in \mathfrak{p}^n[/mm].
> (Das ist aequivalent dazu, dass [mm]\mathfrak{p^n} \cap \IZ \supsetneqq p^n \IZ[/mm]
> ist.) Sei [mm]n[/mm] minimal mit dieser Eigenschaft, d.h. es gelte
> [mm]p^{n-i-1} \not\in \mathfrak{p}^{n-i}[/mm] fuer alle [mm]i \ge 1[/mm].
> Vielleicht kannst du damit einen Widerspruch hinbekommen?
Ich muss ganz ehrlich sagen, ich habe versucht was auszuarbeiten, aber ich sehe es nicht.. es ist eine dieser Aufgaben, bei der ich einfach keine Ahnung habe wie zu Ende führen, was sehr frustrierend ist.. :(
Der Wiederspruch, den ich nun finden muss, ist ja dass [mm] p^{n-1} \notin \mathfrak{p}^{n} \forall [/mm] n, oder?
>
> Hattet ihr schon gezeigt, dass die Elemente in [mm]\mathfrak{a} \mathfrak{b}[/mm]
> von der Form [mm]a b[/mm] mit [mm]a \in \mathfrak{a}[/mm], [mm]b \in \mathfrak{b}[/mm]
> sind? (Dies gilt nicht in allgemeinen Ringen!)
>
Nicht in dieser Vorlesung, aber für zwei ideale I,J erhält man ja durch 3 Operationen ein weiteres Ideal.. und die Multiplikation gerhört zu diesen Operationen.. :)
In allgemeinen Ringen nicht.. aber hier schon?
Danke für die Geduld.. :)
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 16.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
