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Hallo zusammen,
ich habe ein Problem die Äquivalenz zweier Definitionen des Compound-Poisson-Prozesses zu sehen.
Die für mich anschauliche Definition, bei der [mm]N_t \sim poi(\lambda t)[/mm] ein Poisson-Prozess ist, und [mm]X_i[/mm] iid ZV (Sprunghöhen) sind, und dann der Compound Poisson-Prozess [mm]Y_t[/mm] durch [mm]Y_t=\summe_{k=1}^{N_t} X_k[/mm]
gegeben ist.
In diesem Fall verstehe ich auch, warum die charakteristische Funktion die Gestalt [mm]\phi(s)=\exp[\lambda t (\phi_X(s)-1)][/mm] hat.
Dann habe ich eine andere Definition gefunden, bei der allgemein gilt: Hier wird also direkt das W'Maß beschrieben und nicht der Prozess.
[mm]Cpoi_\nu=\exp[\star(\nu-\nu(\mathbb{R})\delta_0)]=e^{-\nu(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\nu^{\star n}}{n!} [/mm]
Instinktiv müsste ja dann [mm]\nu[/mm] das W'Maß von [mm]X[/mm] wie oben sein.
Unter der Definition steht die Charakteristische Funktion des W'Maßes gegen mit [mm]\exp[\integral_{}^{}{ e^{itx}-1 \nu(dx)}] [/mm] als Funktion von t.
Ich hab keine Anhung wie ich darauf kommen soll.
Wenn ich allgemein die Ch. Funktion eines W'Maßes bestimmen soll, muss ich ja [mm]\phi_\nu=\integral_{}^{}{e^{itx} \nu(dx)}[/mm] bestimmen. Jetzt hab ich ja in dem Maß nochmal eine Summe von Faltungen, und da weiß ich einfach nicht was ich da machen kann.
Kann mir jemand hier helfen?
Vielen Dank schonmal!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] Cpoi_\nu=\exp[\star(\nu-\nu(\mathbb{R})\delta_0)]=e^{-\nu(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\nu^{\star n}}{n!} [/mm] $
Hi, sollte [mm] $\nu(\IR)$ [/mm] nicht einfach 1 sein? Und was ist [mm] $\delta_0$? [/mm] Und irgendwie fehlt hier die Poisson-Verteilung.
[mm] $\rho_t [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \nu^{\star n}*P(N_t=n)$
[/mm]
würde ich jetzt mal sagen.
Dann kommt, wenn Du die Zähldichte der Poissonverteilung einsetzt direkt die richtige charakteristische Funktion raus, solange Du bedenkst, daß ja
[mm] $\int e^{itx}\ \nu^{\star n}(dx)=\phi_{(\sum X)}=\phi_X^n=\left(\int e^{itx}\ \nu(dx)\right)^n$
[/mm]
ciao
Stefan
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Das ist ja genau das was ich nicht verstehe, ich habs genauso hier geschrieben wie es in dem Buch steht.
Siehe z.B. http://books.google.de/books?id=bmy89K9VjHIC&pg=PR9&dq=klenke+wahrscheinlichkeitstheorie+Seite+331&hl=de&ei=fAb5TOrNAcLQ4gbEwfCYBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CC8Q6AEwAA#v=onepage&q&f=false
Auf Seite 331 steht das so!
Die Definition ist nicht nur für W'Maße sondern allgemein endliche Maße, daher die Skalierung mit [mm]e^{\nu(\mathbb{R})}[/mm] denk ich mal.
[mm] $\delta_0$ [/mm] ist das Dirac-Maß mit Masse in 0. Es ist irgendwie verwirrend geschrieben finde ich...
Es geht mir darum, dass in genau diesem Buch unterschieden wird zwischen charakteristischen Funktionen von Zufallsvariablen und W'Maßen. Natürlich sind sie am Ende wieder konsistent, aber trotzdem, nach Definition steht dann da [mm]\phi_{Cpoi}(t)=\integral_{}^{}{e^{itx}Cpoi(dx)}[/mm]. Wenn ich das jetzt mit dem oben ausrechnen will, bin ich am verzweifeln...
Kann mit jemand helfen?
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
jetzt versteh ich, zumindest teilweise. =)
In der zweiten Definition ist tatsächlich [mm] $\nu$ [/mm] kein Wmaß sondern ein allgemeines endliches Maß. Es wird das Wmaß (aus'm 1.) [mm] $\nu$ [/mm] als Parameter der Verteilung aufgefaßt und zusammen mit der Intensität der Poissonverteilung [mm] $\lambda [/mm] t$ in einen neuen Parameter [mm] $\kappa$ [/mm] gerollt:
[mm] $\kappa [/mm] := [mm] \lambda t\nu$
[/mm]
wobei hier [mm] $\lambda$ [/mm] und $t$ die beiden aus
$ [mm] Y_t=\summe_{k=1}^{N_t} X_k [/mm] $
sind, und [mm] $\nu$ [/mm] ist das Wmaß von $X$.
Jetzt setzen wir [mm] $\kappa$ [/mm] in die zweite ein:
$ [mm] Cpoi_\kappa=e^{-\kappa(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\kappa^{\star n}}{n!} [/mm] $
dann paßt die Summe wieder (einfach [mm] $\kappa$ [/mm] mit [mm] $\lambda [/mm] t [mm] \nu$ [/mm] ersetzen), ebenso die char. Fkt
[mm] $\exp[\integral_{}^{}{ e^{itx}-1 \kappa(dx)}] =\exp\left( \int e^{itx} \lambda t \nu(dx) - \int 1\lambda t \nu(dx)\right)$
[/mm]
[mm] $\exp[\star(\nu-\nu(\mathbb{R})\delta_0)]$
[/mm]
Interessante Schreibweise, nie gesehen. Definiert er die auch irgendwo genauer?
ciao
Stefan
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Danke schonmal!
> Hi,
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> jetzt versteh ich, zumindest teilweise. =)
>
> In der zweiten Definition ist tatsächlich [mm]\nu[/mm] kein Wmaß
> sondern ein allgemeines endliches Maß. Es wird das Wmaß
> (aus'm 1.) [mm]\nu[/mm] als Parameter der Verteilung aufgefaßt und
> zusammen mit der Intensität der Poissonverteilung [mm]\lambda t[/mm]
> in einen neuen Parameter [mm]\kappa[/mm] gerollt:
>
> [mm]\kappa := \lambda t\nu[/mm]
>
hmm... hier komm ich schon nicht mit... was meinst du mit (aus'm 1.)???
> wobei hier [mm]\lambda[/mm] und [mm]t[/mm] die beiden aus
>
> [mm]Y_t=\summe_{k=1}^{N_t} X_k[/mm]
>
> sind, und [mm]\nu[/mm] ist das Wmaß von [mm]X[/mm].
>
>
> Jetzt setzen wir [mm]\kappa[/mm] in die zweite ein:
>
> [mm]Cpoi_\kappa=e^{-\kappa(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\kappa^{\star n}}{n!}[/mm]
>
> dann paßt die Summe wieder (einfach [mm]\kappa[/mm] mit [mm]\lambda t \nu[/mm]
> ersetzen), ebenso die char. Fkt
>
> [mm]\exp[\integral_{}^{}{ e^{itx}-1 \kappa(dx)}] =\exp\left( \int e^{itx} \lambda t \nu(dx) - \int 1\lambda t \nu(dx)\right)[/mm]
>
>
hier versteh ich den letzen schritt leider auch nicht...
>
> [mm]\exp[\star(\nu-\nu(\mathbb{R})\delta_0)][/mm]
>
> Interessante Schreibweise, nie gesehen. Definiert er die
> auch irgendwo genauer?
Ich muss gestehen nicht alle Kapitel des Buches auf einmal gelesen zu haben. Ich nehm das ehr als Nachschlagewerk, und muss mich dann eben nur in die etwas eigensinnigen Definitionen manchmal reindenken. Aber ich habe diese Schreibweise bisher auch noch nicht gesehen...
>
> ciao
> Stefan
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> hmm... hier komm ich schon nicht mit... was meinst du mit (aus'm 1.)???
Das hatte ich doch direkt unter Deiner Frage nochmal ausführlich geschrieben:
> wobei hier $ [mm] \lambda [/mm] $ und $ t $ die beiden aus
>
> $ [mm] Y_t=\summe_{k=1}^{N_t} X_k [/mm] $
>
> sind, und $ [mm] \nu [/mm] $ ist das Wmaß von $ X $.
>
>
> Jetzt setzen wir $ [mm] \kappa [/mm] $ in die zweite ein:
>
> $ [mm] Cpoi_\kappa=e^{-\kappa(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\kappa^{\star n}}{n!} [/mm] $
>
Du hattest 2 Definitionen für den Poisson Prozeß, wobei in beiden [mm] $\nu$ [/mm] vorkommt, aber es sind verschiedene Maße. In einem Fal ist es wie geschrieben das Wmaß von X, im anderen die skalierte Version [mm] $\kappa$. [/mm] Ich hab jetzt in der zweiten Definiton [mm] $\nu$ [/mm] durch [mm] $\kappa$ [/mm] ersetzt. Wenn Du die Definition von [mm] $\kappa$, [/mm] also [mm] $\lambda [/mm] t [mm] \nu$ [/mm] einsetzt, hast Du wieder die 1. Definition.
> hier versteh ich den letzen schritt leider auch nicht...
Ich hab nur [mm] $\kappa$ [/mm] durch seine Definition [mm] $\lambda [/mm] t [mm] \nu$ [/mm] ersetzt.
ciao
Stefan
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Mir gehts dabei um eine andere Sache. In dem Buch wird die Charakteristische Funktion eines W'Maßes [mm] $\nu$ [/mm] definiert durch [mm]\phi_\nu=\integral_{}^{}{e^{itx} \nu(dx)}[/mm]
Wenn ich jetzt mit dieser Definition die charakteristische Funktion von Cpoi ausrechenen will, hab ich ja dann [mm]e^{-\nu(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\nu^{\star n}(dx)}{n!} [/mm] als Maß zum integrieren. Wenn ich das formal ausrechnen will komm ich einfach nicht weiter.
Die Faltung von W'Maßen ist auch dementsprechend definiert als
[mm]\mu \star \nu ((-\infty,x] )= \integral_{}^{}{ \chi_{u+v \leq x} \mu(du)\nu(dv)}[/mm]
Wenn ich das versuche direkt auszurechnen, hab ich keine Anhung wie...
Dacnke schonmal!
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
$ [mm] \int e^{itx}\ \text{Cpoi}(dx)= \int e^{itx}e^{-\kappa(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\kappa^{\star n}(dx)}{n!} [/mm] =$
[mm] $=e^{-\kappa(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}\int e^{itx}\ \kappa^{\star n}(dx) [/mm] =$
[mm] $=e^{-\kappa(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}\phi_{\kappa^{\star n}}(t) =e^{-\kappa(\mathbb{R})}\summe_{n=1}^{\infty}\frac{\phi_\kappa^n(t)}{n!}=e^{\phi_\kappa(t)-\kappa(\IR)}$
[/mm]
ciao
Stefan
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Ahhh okay! Danke!
So ähnlich hatte ich das, aber dann hab ich versucht das Dirac-Maß unterzubringen, aber das lief immer schief. Ist das Dirac-Maß nur auf den Summationsindex bezogen?
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Blech |
Das Dirac-Maß taucht nur in seiner Schreibweise auf, die ich mir nicht näher angeschaut habe. In der eigentlichen Definition kommt es nicht vor.
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Ah okay. Dann ist das mit dem Dirac-Maß nur definitionssache.
Danke vielmals!
lg Kai
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