Coretraktion, Relationen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 03.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Fasst man eine Relation $R: [mm] A\rightharpoondown [/mm] B$ als Morphismus in der Kategorie [mm] $Ens_{Rel}$ [/mm] auf, so gilt:
Eine Relation $R: [mm] A\rightharpoondown [/mm] B$ ist eine Coretraktion in [mm] $Ens_{Rel}$, [/mm] wenn R injektiv und überall definiert ist.
Anmerkung von mir:
[mm] $Ens_{Rel}$ [/mm] ist die Kategorie, deren Objekte die Mengen und deren Morphismen die Relationen sind (mit der für Relationen definierten Komposition). |
Hallo!
Erstmal ist meine Frage:
Eine Relation $R: [mm] A\rightharpoondown [/mm] B$ ist doch einfach eine Teilmenge von [mm] $A\times [/mm] B$. Wie kann man das als Morphismus auffassen?
Was bedeutet "Überall definiert"?
Kann man statt "überall definiert" auch "linkstotal" sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Fasst man eine Relation [mm]R: A\rightharpoondown B[/mm] als
> Morphismus in der Kategorie [mm]Ens_{Rel}[/mm] auf, so gilt:
>
> Eine Relation [mm]R: A\rightharpoondown B[/mm] ist eine Coretraktion
> in [mm]Ens_{Rel}[/mm], wenn R injektiv und überall definiert ist.
>
>
>
> Anmerkung von mir:
>
> [mm]Ens_{Rel}[/mm] ist die Kategorie, deren Objekte die Mengen und
> deren Morphismen die Relationen sind (mit der für
> Relationen definierten Komposition).
>
>
>
>
> Hallo!
>
> Erstmal ist meine Frage:
>
> Eine Relation [mm]R: A\rightharpoondown B[/mm] ist doch einfach eine
> Teilmenge von [mm]A\times B[/mm]. Wie kann man das als Morphismus
> auffassen?
>
Naja, indem man einfach zeigt, dass die Eigenschaften eines Morphismus erfüllt sind. Die Komposition von zwei Morphismen [mm] R:A\to B, R':B\to C [/mm] ist dann [mm]R'\circ R= \{(a,c)\in A\times C: \exists b\in B: (a,b) \in R, (b,c)\in R'\}[/mm].
>
> Was bedeutet "Überall definiert"?
> Kann man statt "überall definiert" auch "linkstotal"
> sagen?
Ja, das ist damit wohl gemeint. Du sollst also zeigen, dass R eine Koretraktion ist, wenn R linkstotal und linkseindeutig ist.
Beste Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 03.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
Sehe ich das richtig, daß man hier mit [mm] $\operatorname{Mor}(A,B)$ [/mm] nicht Abbildungen zwischen zwei Objekten (hier: Mengen A und B) meint, sondern die Menge der Relationen von A und B, also gewissermaßen
[mm] $\operatorname{Mor}(A,B)=\left\{R: R\subseteq A\times B\right\}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Berieux |
> Sehe ich das richtig, daß man hier mit
> [mm]\operatorname{Mor}(A,B)[/mm] nicht Abbildungen zwischen zwei
> Objekten (hier: Mengen A und B) meint, sondern die Menge
> der Relationen von A und B, also gewissermaßen
>
> [mm]\operatorname{Mor}(A,B)=\left\{R: R\subseteq A\times B\right\}[/mm]?
Ja. Man schreibt es halt aber einfach trotzdem als "Pfeil".
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