Cosh Ableitung der Umkehrfkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hiho erstmal :)
ich find es immer schade wenn ich nachfragen muss aber irgentwie steh ich auf dem Schlauch.
Also Ich habe die Aufgabe bekommen die Ableitung der Umkehrfunktion von cosh [x] zu bilden.
[mm] Cosh(x)=\bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{ - x })
[/mm]
Nacheinigem umformen hatte ich dann die Umkehrfunktion
[mm] f(y)^{-1} [/mm] = ln ( y [mm] \pm \wurzel{ y^{2} -1} [/mm] )
heraus, welches auch die area cosinus hyperbolicus ist.
Nun wollte ich mit der Ableitung dieser Funktion weiter machen. Habe mich dann dafür entschieden es über den Weg:
f(y) ^{-1} ' = [mm] \bruch{1}{f(x)'}
[/mm]
Denn die Ableitung von Cosh (x) also unserem f(x) ist Sinh (x)
dann erhalte ich
f(y) ^{-1} ' = [mm] \bruch{2}{e^{x} - e^{-x}}
[/mm]
nun bin ich mir nicht sicher wie ich weiter machen soll... ich hab versucht
[mm] e^{x} [/mm] = y [mm] \pm \wurzel{ y^{2} -1}
[/mm]
einzusetzten doch hab dann keine möglichkeit gefunden es weiter zu vereinfachen... im Internet hab ich
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{x^{2} -1}}
[/mm]
gefunden für die Ableitung von arcosh...
könnt ihr mir einen tipp geben ?
Danke
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Hallo,
ich würde das direkt ableiten. Du brauchst doch nur die Kettenregel anzuwenden. Die Ableitung des ln ist auch klar. Dann folgt:
[mm] (ln(y+\wurzel{y^{2}-1}))'
[/mm]
[mm] =\bruch{1+\bruch{y}{\wurzel{y^{2}-1}}}{y+\wurzel{y^{2}-1}}
[/mm]
(wenn ich mich nicht verrechnet habe!) 
Viele Grüße
Daniel
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