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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Di 27.09.2005 | | Autor: | PacoP |
Liebe Leute,
ich habe folgendes Problem,
Aufgabe ist:
Zeigen Sie, dass 2*cos(x) = x nur eine eindeutige Lösung besitzt.
Ich nehme an, es funktioniert über den Nachweis der Monotonie über die 1. Ableitung.
Ich fürchte, es ist eigentlich ganz einfach, aber ich komme hier nicht weiter.
Danke für die Hilfe,
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi, PacoP,
zunächst schließt Du mal - meist durch Vorzeichenbetrachtungen - die Bereiche aus, in denen offensichtlich keine Schnittstelle der Funktionen liegen kann, z.B. ist für x > [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] der Graph von y=x leicht nachweisbar oberhalb vom Graphen von y=2*cos(x).
Letztlich musst Du dann nur noch zeigen, dass es genau eine Schnittstelle zwischen 0 und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gibt.
(1) Es gibt mindestens eine NS:
Betrachte f(x)=2*cos(x)-x
Es ist z.B. f(0) = 2 > 0
und [mm] f(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] < 0.
Da f eine steige Funktion ist, muss es nach dem Nullstellensatz mindestens 1 Nullstelle geben.
(2) Es gibt höchstens eine NS im betrachteten Intervall, weil dort die Funktion mit der Gleichung y=2cos(x) echt monoton abnimmt und die Funktion mit der Gleichung y=x echt monoton zunimmt.
Also gibt es im betrachteten Intervall GENAU EINE Nullstelle. q.e.d
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 27.09.2005 | | Autor: | PacoP |
Hallo Zwerglein,
erstmal vielen Dank für deine schnelle Hilfe.
Ich habe zwischenzeitlich auch nochmal meine Unterlagen gewälzt und folgendes gefunden:
Sei die Funktion f:= [a,b] [mm] \to [/mm] R stetig, für [mm] \alpha, \beta \in [\alpha, \beta], \alpha [/mm] < [mm] \beta, [/mm] gelte [mm] f(\alpha)f(\beta) [/mm] < 0
dann hat die Funktion f im Intervall [mm] (\alpha, \beta) [/mm] mindestens eine Nullstelle, ist f im Intervall außerdem monoton, so existiert nur eine einzige Nullstelle im Intervall.
Nachweis der Monotonie durch die erste Ableitung
f'(x) < 0
Hier liegt für mich noch eine kleine Frage:
Die Funktion ist f(x) := 2*cos(x) - x
stimmt dann für f'(x) := -2*sin(x) -1 ?
Oder lässt sich die Monotonie noch anders nachweisen?
Denn ich finde den Nachweis über f(x+1) >= f(x+2) für alle x [mm] \in [\alpha, \beta] [/mm] noch schwerer.
Besten Dank und liebe Grüße,
Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, das ist richtig. Und wenn du voraussetzen darfst, dass
[mm] $\sin(x) [/mm] > 0$ für $x [mm] \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right)$
[/mm]
(und irgendetwas über die Sinus- oder Cosinusfunktion wirst du schon als bekannt voraussetzen müssen)
folgt ja sofort die Behauptung: $f'(x) < 0$ für alle $x [mm] \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, PacoP,
Damit ist also klar, wie Du nachweist, dass zwischen 0 und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] genau eine Nullstelle liegt.
Damit bist Du aber noch nicht ganz fertig! Du musst auch zeigen, dass es außerhalb dieses Intervalls nicht noch eine Nullstelle gibt!
Dass rechts von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] keine mehr liegt, ist klar, da hier der Funktionsgraph von y=x leicht nachweisbar immer oberhalb vom Graphen von y=2cos(x) liegt.
Auch links von [mm] -\pi [/mm] gibt es keine Lösung mehr, da hier der Graph von y=x immer unterhalb liegt, ebenso zwischen [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] und 0.
Bleibt noch ein "kleines" Problem: Das Intervall [mm] [-\pi; -\bruch{\pi}{2}].
[/mm]
Hier würde ich einfach so vorgehen, dass ich "den (y-)Abstand" der Funktionsgraphen, also g(x) = 2cos(x)-x, in Hinblick auf Extrema untersuche. Wenn es ein Minimum gibt und dessen y-Koordinate ist positiv, dann kanst Du sicher sein, dass auch in diesem "kritischen" Intervall keine Lösung Deiner Gleichung mehr liegt!
Nun hab' ich's mal durchgerechnet und komme auf: x = [mm] -\bruch{5}{6}\pi.
[/mm]
Dies ist die einzige Minimalstelle im betrachteten Intervall und der zugehörige y-Wert ist etwa 0,886, also jedenfalls positiv.
Jetzt kannst Du sicher sein, dass es auch hier keine weitere Lösung gibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mi 28.09.2005 | | Autor: | PacoP |
Danke für die Hilfe,
jetzt hab selbst ich die Aufgabe verstanden.
Und das will was heißen.
Peter
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