Cosinus als Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] x_0 \in \IR [/mm] beliebig.
(a) Zeige, dass cos: [mm] \IR\to\IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] durch die Taylorreihe in [mm] x_0 [/mm] dargestellt wird d.h. bezeichnet [mm] T_{x_0,n} [/mm] das n-te Taylorpolynom der cos- Funktion in [mm] x_0, [/mm] so geht [mm] T_{x_0,n}(x)\to [/mm] cos(x) für [mm] n\to\infty [/mm] und jedes [mm] x\in\IR. [/mm] (Tipp: Lagrange- Restglied) |
Hallo! Ist das so korrekt?
Sei [mm] T_{x_0,n}(x) [/mm] das n-te Taylorpolynom von cos(x). Die n+1- te Ableitung von cos(x) ist gegeben durch:
[mm] f^{n+1}(x)=\begin{cases} (-1)^{k}cos(x), & \mbox{für } n+1=2k \mbox{} \\ (-1)^{k+1}sin(x), & \mbox{für } n+1=2k+1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
mit [mm] k\in\IN [/mm]
Dann ist das n+1- te Lagrange- Restglied
[mm] R_{x_0,n}=\begin{cases} \bruch{(-1)^{k}cos(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}, & \mbox{für } n+1=2k \mbox{} \\ \bruch{(-1)^{k}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}, & \mbox{für } n+1=2k+1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
mit einem geeigneten [mm] \alpha \in (x_0, [/mm] x)
Ich vereinfach jetzt etwas um Schreibarbeit zu sparen und sage n+1 soll ungerade sein. Dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|cos(x)-T_{x_0,n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|\le\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}=0
[/mm]
Das sollte eigentlich die Lösung der Aufgabe sein, aber wieso funktioniert dann folgendes nicht? Dafür soll [mm] n\in\IN [/mm] fest und gerade sein:
[mm] T_{x_0,n}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{{cos(x_0)}^{(k)}(x-x_0)^k}{k!} [/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{2k!}+\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}-1}\bruch{(-1)^ksin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{2k+1!}
[/mm]
[mm] =cos(x_0)\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}\bruch{(-1)^k(x-x_0)^{2k}}{2k!}+sin(x_0)\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}-1}\bruch{(-1)^ksin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{2k+1!} [/mm]
[mm] \to cos(x_0)cos(x-x_0)+sin(x_0)sin(x-x_0) [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
=... (Additionstheoreme und Ausklammern)
[mm] =({cos(x_0)}^2-{sin(x_0)}^2)cos(x) [/mm]
Eigentlich sollte auf diese Weise doch auch "nur" der cos(x) rauskommen, ohne diesen driss in der Klammer davor!?
Ich habe schon zwei mal nachgerechnet, viel gibt es da ja nicht zu rechnen, aber ich komme leider nicht auf das was rauskommen sollte- der cosinus!
Grüße, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Sei [mm]x_0 \in \IR[/mm] beliebig.
> (a) Zeige, dass cos: [mm]\IR\to\IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] durch die
> Taylorreihe in [mm]x_0[/mm] dargestellt wird d.h. bezeichnet
> [mm]T_{x_0,n}[/mm] das n-te Taylorpolynom der cos- Funktion in [mm]x_0,[/mm]
> so geht [mm]T_{x_0,n}(x)\to[/mm] cos(x) für [mm]n\to\infty[/mm] und jedes
> [mm]x\in\IR.[/mm] (Tipp: Lagrange- Restglied)
> Hallo! Ist das so korrekt?
>
> Sei [mm]T_{x_0,n}(x)[/mm] das n-te Taylorpolynom von cos(x). Die
> n+1- te Ableitung von cos(x) ist gegeben durch:
>
> [mm]f^{n+1}(x)=\begin{cases} (-1)^{k}cos(x), & \mbox{für } n+1=2k \mbox{} \\ (-1)^{k+1}sin(x), & \mbox{für } n+1=2k+1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> mit [mm]k\in\IN[/mm]
>
> Dann ist das n+1- te Lagrange- Restglied
>
> [mm]R_{x_0,n}=\begin{cases} \bruch{(-1)^{k}cos(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}, & \mbox{für } n+1=2k \mbox{} \\ \bruch{(-1)^{k}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}, & \mbox{für } n+1=2k+1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
>
> mit einem geeigneten [mm]\alpha \in (x_0,[/mm] x)
>
> Ich vereinfach jetzt etwas um Schreibarbeit zu sparen und
> sage n+1 soll ungerade sein. Dann gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|cos(x)-T_{x_0,n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|\le\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}=0[/mm]
>
> Das sollte eigentlich die Lösung der Aufgabe sein, aber
> wieso funktioniert dann folgendes nicht? Dafür soll
> [mm]n\in\IN[/mm] fest und gerade sein:
>
> [mm]T_{x_0,n}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{{cos(x_0)}^{(k)}(x-x_0)^k}{k!}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{2k!}+\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}-1}\bruch{(-1)^ksin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{2k+1!}[/mm]
>
> [mm]=cos(x_0)\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}\bruch{(-1)^k(x-x_0)^{2k}}{2k!}+sin(x_0)\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}-1}\bruch{(-1)^ksin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{2k+1!}[/mm]
>
> [mm]\to cos(x_0)cos(x-x_0)+sin(x_0)sin(x-x_0)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> =... (Additionstheoreme und Ausklammern)
> [mm]=({cos(x_0)}^2-{sin(x_0)}^2)cos(x)[/mm]
>
> Eigentlich sollte auf diese Weise doch auch "nur" der
> cos(x) rauskommen, ohne diesen driss in der Klammer davor!?
> Ich habe schon zwei mal nachgerechnet, viel gibt es da ja
> nicht zu rechnen, aber ich komme leider nicht auf das was
> rauskommen sollte- der cosinus!
>
Die unendliche Reihe lautet doch:
[mm]=\summe_{k=0}^\infty}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{\left(2k\right)!}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k\red{+1}}sin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}[/mm]
> Grüße, kulli
Gruss
MathePower
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> Hallo kullinarisch,
>
> > Sei [mm]x_0 \in \IR[/mm] beliebig.
> > (a) Zeige, dass cos: [mm]\IR\to\IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] durch die
> > Taylorreihe in [mm]x_0[/mm] dargestellt wird d.h. bezeichnet
> > [mm]T_{x_0,n}[/mm] das n-te Taylorpolynom der cos- Funktion in [mm]x_0,[/mm]
> > so geht [mm]T_{x_0,n}(x)\to[/mm] cos(x) für [mm]n\to\infty[/mm] und jedes
> > [mm]x\in\IR.[/mm] (Tipp: Lagrange- Restglied)
> > Hallo! Ist das so korrekt?
> >
> > Sei [mm]T_{x_0,n}(x)[/mm] das n-te Taylorpolynom von cos(x). Die
> > n+1- te Ableitung von cos(x) ist gegeben durch:
> >
> > [mm]f^{n+1}(x)=\begin{cases} (-1)^{k}cos(x), & \mbox{für } n+1=2k \mbox{} \\ (-1)^{k+1}sin(x), & \mbox{für } n+1=2k+1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > mit [mm]k\in\IN[/mm]
> >
> > Dann ist das n+1- te Lagrange- Restglied
> >
> > [mm]R_{x_0,n}=\begin{cases} \bruch{(-1)^{k}cos(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}, & \mbox{für } n+1=2k \mbox{} \\ \bruch{(-1)^{k}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}, & \mbox{für } n+1=2k+1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
> > mit einem geeigneten [mm]\alpha \in (x_0,[/mm] x)
> >
> > Ich vereinfach jetzt etwas um Schreibarbeit zu sparen und
> > sage n+1 soll ungerade sein. Dann gilt:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|cos(x)-T_{x_0,n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|\le\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}=0[/mm]
> >
> > Das sollte eigentlich die Lösung der Aufgabe sein, aber
> > wieso funktioniert dann folgendes nicht? Dafür soll
> > [mm]n\in\IN[/mm] fest und gerade sein:
> >
> >
> [mm]T_{x_0,n}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{{cos(x_0)}^{(k)}(x-x_0)^k}{k!}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{2k!}+\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}-1}\bruch{(-1)^ksin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{2k+1!}[/mm]
> >
> >
> [mm]=cos(x_0)\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}\bruch{(-1)^k(x-x_0)^{2k}}{2k!}+sin(x_0)\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}-1}\bruch{(-1)^ksin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{2k+1!}[/mm]
> >
> > [mm]\to cos(x_0)cos(x-x_0)+sin(x_0)sin(x-x_0)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
> >
> > =... (Additionstheoreme und Ausklammern)
> > [mm]=({cos(x_0)}^2-{sin(x_0)}^2)cos(x)[/mm]
> >
> > Eigentlich sollte auf diese Weise doch auch "nur" der
> > cos(x) rauskommen, ohne diesen driss in der Klammer davor!?
> > Ich habe schon zwei mal nachgerechnet, viel gibt es da ja
> > nicht zu rechnen, aber ich komme leider nicht auf das was
> > rauskommen sollte- der cosinus!
> >
>
>
> Die unendliche Reihe lautet doch:
>
> [mm]=\summe_{k=0}^\infty}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{\left(2k\right)!}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k\red{+1}}sin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}[/mm]
Hi, ja hast Recht, habe ich übersehen. Aber wenn ich es korrigiere komme ich trotzdem nicht zum Ziel:
[mm]=\summe_{k=0}^\infty}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{\left(2k\right)!}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k\red{+1}}sin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}[/mm]
= [mm]=\summe_{k=0}^\infty}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}sin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}[/mm]
[mm] =cos(x_0)cos(x-x_0)-sin(x_0)sin(x-x_0)
[/mm]
=..
[mm] =cos(x)-2cos(x_0)sin(x)sin(x_0)
[/mm]
Oder habe ich mich wieder vertan?
Ist denn die Abschätzung von oben richtig bzw. im Sinne der Aufgabe?
Also diese hier:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|cos(x)-T_{x_0,n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|\le\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|=0
[/mm]
Und daraus kann ich doch dann folgern: [mm] cos(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}T_{x_0,n} [/mm] für jedes x aus [mm] \IR
[/mm]
> > Grüße, kulli
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo kullinarisch,
> > Hallo kullinarisch,
> >
> > > Sei [mm]x_0 \in \IR[/mm] beliebig.
> > > (a) Zeige, dass cos: [mm]\IR\to\IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] durch
> die
> > > Taylorreihe in [mm]x_0[/mm] dargestellt wird d.h. bezeichnet
> > > [mm]T_{x_0,n}[/mm] das n-te Taylorpolynom der cos- Funktion in [mm]x_0,[/mm]
> > > so geht [mm]T_{x_0,n}(x)\to[/mm] cos(x) für [mm]n\to\infty[/mm] und jedes
> > > [mm]x\in\IR.[/mm] (Tipp: Lagrange- Restglied)
> > > Hallo! Ist das so korrekt?
> > >
> > > Sei [mm]T_{x_0,n}(x)[/mm] das n-te Taylorpolynom von cos(x). Die
> > > n+1- te Ableitung von cos(x) ist gegeben durch:
> > >
> > > [mm]f^{n+1}(x)=\begin{cases} (-1)^{k}cos(x), & \mbox{für } n+1=2k \mbox{} \\ (-1)^{k+1}sin(x), & \mbox{für } n+1=2k+1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit [mm]k\in\IN[/mm]
> > >
> > > Dann ist das n+1- te Lagrange- Restglied
> > >
> > > [mm]R_{x_0,n}=\begin{cases} \bruch{(-1)^{k}cos(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}, & \mbox{für } n+1=2k \mbox{} \\ \bruch{(-1)^{k}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}, & \mbox{für } n+1=2k+1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > mit einem geeigneten [mm]\alpha \in (x_0,[/mm] x)
> > >
> > > Ich vereinfach jetzt etwas um Schreibarbeit zu sparen und
> > > sage n+1 soll ungerade sein. Dann gilt:
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|cos(x)-T_{x_0,n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|\le\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}=0[/mm]
> > >
> > > Das sollte eigentlich die Lösung der Aufgabe sein, aber
> > > wieso funktioniert dann folgendes nicht? Dafür soll
> > > [mm]n\in\IN[/mm] fest und gerade sein:
> > >
> > >
> >
> [mm]T_{x_0,n}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{{cos(x_0)}^{(k)}(x-x_0)^k}{k!}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{2k!}+\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}-1}\bruch{(-1)^ksin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{2k+1!}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=cos(x_0)\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}}\bruch{(-1)^k(x-x_0)^{2k}}{2k!}+sin(x_0)\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}-1}\bruch{(-1)^ksin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{2k+1!}[/mm]
> > >
> > > [mm]\to cos(x_0)cos(x-x_0)+sin(x_0)sin(x-x_0)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
> > >
> > > =... (Additionstheoreme und Ausklammern)
> > > [mm]=({cos(x_0)}^2-{sin(x_0)}^2)cos(x)[/mm]
> > >
> > > Eigentlich sollte auf diese Weise doch auch "nur" der
> > > cos(x) rauskommen, ohne diesen driss in der Klammer davor!?
> > > Ich habe schon zwei mal nachgerechnet, viel gibt es da ja
> > > nicht zu rechnen, aber ich komme leider nicht auf das was
> > > rauskommen sollte- der cosinus!
> > >
> >
> >
> > Die unendliche Reihe lautet doch:
> >
> >
> [mm]=\summe_{k=0}^\infty}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{\left(2k\right)!}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k\red{+1}}sin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}[/mm]
>
> Hi, ja hast Recht, habe ich übersehen. Aber wenn ich es
> korrigiere komme ich trotzdem nicht zum Ziel:
>
> [mm]=\summe_{k=0}^\infty}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{\left(2k\right)!}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k\red{+1}}sin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}[/mm]
>
> =
> [mm]=\summe_{k=0}^\infty}\bruch{(-1)^kcos(x_0)(x-x_0)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}sin(x_0)(x-x_0)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}[/mm]
>
> [mm]=cos(x_0)cos(x-x_0)-sin(x_0)sin(x-x_0)[/mm]
>
> =..
>
> [mm]=cos(x)-2cos(x_0)sin(x)sin(x_0)[/mm]
>
> Oder habe ich mich wieder vertan?
>
Da hast Du Dich leider wieder vertan.
Es ist doch
[mm]\cos\left(x-x_{0}\right)=\cos\left(x\right)*\cos\left(x_{0}\right)\blue{+}\sin\left(x\right)*\sin\left(x_{0}\right)[/mm]
> Ist denn die Abschätzung von oben richtig bzw. im Sinne
> der Aufgabe?
> Also diese hier:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|cos(x)-T_{x_0,n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}sin(\alpha)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|\le\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|=0[/mm]
>
Für n gerade stimmt diese Abschätzung.
> Und daraus kann ich doch dann folgern:
> [mm]cos(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}T_{x_0,n}[/mm] für jedes x
> aus [mm]\IR[/mm]
>
>
>
> > > Grüße, kulli
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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Na gibts denn das.. ich danke dir für dein wachsames Auge!
Grüße, kulli
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Hallo kulli,
ich finde die Aufgabe, so wie sie gestellt ist, etwas dumm,
ungeschickt oder ein wenig fies, je nach Betrachtungsweise.
Man könnte doch [mm] t:=x-x_0 [/mm] setzen und hätte damit:
$\ cos(x)\ =\ [mm] cos(x_0+t)\ [/mm] =\ [mm] cos(x_0)*cos(t)-sin(x_0)*sin(t)$
[/mm]
und kann dann mit den einfachen Taylorreihen für sin(t)
und cos(t) arbeiten anstatt mit der unhandlichen für [mm] cos(x_0+t) [/mm] .
LG
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Hm, das wäre doch der gleich Weg wie meiner, nur rückwärts. Also ich würde mit deinem Trick auch erst was anfangen können, wenn ich diesen Weg schon mal vorwärts gegangen bin. Ich glaube sonst würde ich nicht erkennen was man sich daraus bastel kann.. aber ich bin ja auch einunerfahrener Laie und darauf zielt mein Prof. wahrscheinlich ab und lacht sich ins Fäustchen!
Also nur mal zur Sicherheit:
Du fängst an mit
[mm] cos(x)=cos(x_0+t)
[/mm]
[mm] =cos(x_0)cos(t)-sin(x_0)sin(t)
[/mm]
=...
und kommst dann am Ende dort an wo ich angefangen habe, nämlich:
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} T_{x_0,n}
[/mm]
Oder wolltest du auf etw. anderes hinaus?
Grüße, kulli
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