Coulombeichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mo 02.08.2010 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Ich muss yeigen, dass das Vektorpotential:
[tex]
\vec { A } = \integral_{}^{}{\bruch{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}dV'}[/tex]
Coulombeichung erfüllt. (Ich habe Koeffizienten weggelassen) |
Ich muss also zeigen, dass es gilt:
[tex]
div \vec { A } = 0[/tex]
Ich rechne also:
[tex]div\vec{a} = \integral_{}^{}\nabla{\bruch{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}dV'} =\integral_{}^{}\summe_{i=1}^{3}\partial_{i}j_{i}Rdx_{i}= \integral_{}^{}\summe_{i=1}^{3}j_{i}\partial_{i}Rdx_{i} [/tex]
Als R habe ich einfach
[tex]\bruch{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}[/tex]
ersetzt.
Aber es gilt
[tex]\partial_{i}R= - \bruch{r_{i}-r'_{i}}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}[/tex]
Ich sehe irgendwie nicht, das es sich Null ergibt...
Vielleicht wird mir jemand zeigen, wo ich einen Fehler mache, oder was ich noch zeigen soll?Aun keine Achnung, warum im Vorschau sehe ich A mit Vektorpfeile nicht... (dort wo etwas fehlt).
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
der Trick liegt darin, dass das [mm] $\nabla$ [/mm] ja auf $r$ wirkt. D.h. man kann es, wie du es schreibst, schon durch das $j$ schaufeln.
Wenn man sich jetzt aber ueberlegt, dass [mm] $\nabla_r \frac{1}{|\vec{r'}-\vec{r}|} [/mm] = [mm] -\nabla_{r'} \frac{1}{|\vec{r'}-\vec{r}|}$ [/mm] gilt, d.h. die Ableitung nun auf $r'$ wirkt, kann man jetzt die partielle Integration anwenden. Dann gibts einen Oberflaechenterm, der Null gibt, und das andere Integral kann man dann hoffentilich auch noch wegdiskutieren.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mo 02.08.2010 | | Autor: | waruna |
Du schreibst:
"Dann gibts einen Oberflaechenterm, der Null gibt, und das andere Integral kann man dann hoffentilich auch noch wegdiskutieren."
Das andere Integral ergibt Null, wiel im Magnetostatik Divergenz de Stromdichte immer Null ergibt (Kontinuitätsgleichung).
Aber der Oberflächenterm verschwindet, weil wir über ein unendlich grosses Volumen integrieren, also Oberfläche liegt im Unendlichen und unsere "lokalisierte" Ströme können durch ein solches Oberfläche nicht "fliehen"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Du schreibst:
> "Dann gibts einen Oberflaechenterm, der Null gibt, und das
> andere Integral kann man dann hoffentilich auch noch
> wegdiskutieren."
>
> Das andere Integral ergibt Null, wiel im Magnetostatik
> Divergenz de Stromdichte immer Null ergibt
> (Kontinuitätsgleichung).
Ja. Da kommt normalerweise noch ein [mm] $\nabla [/mm] j$ hin, aber das ist dann ja [mm] $\dot{\rho} [/mm] + [mm] \nabla [/mm] j =0$, also kann mans im Allgemeinen noch umschreiben in eine Zeitableitung der Ladungsdichte. Wenn man das jetzt im Spezialfall der Statik betrachtet, hast du recht, dass das dann Null ergibt. Waeren wir nicht in der Statik, dann haetten wir halt noch eine Zeitableitung ueber sowas wie ein Potential...
> Aber der Oberflächenterm verschwindet, weil wir über ein
> unendlich grosses Volumen integrieren, also Oberfläche
> liegt im Unendlichen und unsere "lokalisierte" Ströme
> können durch ein solches Oberfläche nicht "fliehen"?
Ja. Das ist immer eine Annahme, die man mit reinsteckt. Wir gehen davon aus, dass die Stromdichte im Unendlichen hinreichend schnell abfaellt. Das ist die Annahme, dass wir im Unendlichen keine Stroeme haben, d.h. im Unendlichen sollte ein 'Vakuum' sein.
Das laeuft einem in der E-Dynamik eigentlich immer ueber den Weg, und macht ja auch irgendwie Sinn, denn wenn die Stroeme und Felder im Unendlichen nicht hinreichend schnell abfallen wuerden, so koennten teilweise Divergenzen auftreten, die man nicht sieht.
Also hier ist es dann wohl auch 'salopp' als:
Was hier passiert beeinflusst das Geschehen im Unendlichen nicht
formulierbar.
LG
Kroni
|
|
|
|
