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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Klio |
Hallo ihr,
bei folgender Frage habe ich Probleme: Nach dem Coulomb-Gesetz wird die Kraft zwischen zwei punktförmigen Ladungen unendlich groß, wenn ihr Abstand gegen Null geht, Wie verhält sich dazu im Vergleich die Kraft F auf eine Punktladung,die beliebig nahe an eine homogen geladene, unendlich ausgedehnte Schicht gebracht wird?
Vielen Dank für eure Hilfe,
liebe Grüße
Ramona
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Ich würde sagen, das ist genauso. Aber man kann das ganze ja mathematisch angehen.
Die Ebene sitze in der xy-Ebene, und deine Punktladung hat den Abstand h.
Die Kraft zwischen zwei Punktladungen ist [mm] $\vec F=\bruch{qQ}{r^2}\bruch{\vec r}{|r|}$ [/mm] (die Konstanten mal weg gelassen)
Jetzt schaut man sich mal ein winziges Stück $dxdy$ der Ebene an.
Wir nehmen eine Ladungsdichte [mm] \rho [/mm] dazu, dann hat das Stück die Ladung [mm] $\rho [/mm] dxdy$
Das Stück dxdy ist an der Position (x;y;0). Somit ist der Abstand zur Punktladung [mm] \wurzel{x^2+y^2+h^2}
[/mm]
Macht eine Kraft von [mm] $F=\bruch{q\rho}{x^2+y^2+h^2}\bruch{\vec r}{|r|}dxdy$
[/mm]
Kümmern wir uns um den vektoriellen Teil: [mm] \bruch{\vec r}{|r|} [/mm] ist ja ein Richtungsvektor. Die Komponente in z-Richtung (die anderen heben sich weg) läßt sich schreiben als [mm] \bruch{h}{\wurzel{x^2+y^2+h^2}}
[/mm]
Alles zusammen:
[mm] $F=\bruch{q\rho h}{{(x^2+y^2+h^2)}^{3/2}}dxdy$
[/mm]
DAs Ding müssern wir jetzt über die Fläche integrieren, um die Gesamtkraft zu erhalten:
[mm] $F_{ges}=\integral \integral \bruch{q\rho h}{{(x^2+y^2+h^2)}^{3/2}}dxdy$
[/mm]
Gehen wir zu Polarkoordinaten über:
[mm] $F_{ges}=\integral \integral \bruch{q\rho h}{{(r^2+h^2)}^{3/2}} [/mm] r [mm] d\phi [/mm] dr$
[mm] $F_{ges}=2\pi \integral \bruch{q\rho h}{{(r^2+h^2)}^{3/2}} [/mm] r dr$
Verzeih, daß ich an dieser Stelle mal den Computer rechnen lasse...
[mm] $F_{ges}=-2\pi q\rho \left[ \bruch{1}{\wurzel{r^2+h^2}} \right]_0^\infty= \bruch{2\pi q\rho}{{h}}$
[/mm]
Demnach gibt es eine 1/h-Abhängigkeit, und demnach auch eine unendlich hohe Kraft bei unendlicher Annäherung.
(Tschuldigung, ich hatte grade spaß...)
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