Counutscher Punkt < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Do 14.02.2008 | | Autor: | hasso |
hallo,
ich wollte den counetschen punkt mal bestimmen im mathe buch steht wenn man ihn rechnerisch ermitteln möchte das man eine Extremwertbestimmung zur Ermittlung der Gewinnmaximalen Mengedurchgeführt und anschließend diese Menge in die Preisabsatzfunktion zur Berechnung der entsprechenden Marktpreises eingesetzt.
gegeben : Im letzten Jahr wurden 50 Dachtgepäckträger zu einem Preis von 1200 DM verkauft. Bei einer preiserhöhung um 50 DM wird nach einer Marktforschungsuntersuchung ein Rückgang des Absatzes auf 45 Stück erwartet.
Die Preisabsatzfunktion wird als Linear angenommen
Die Gesamtkostenfunktion
[mm] K(x)={1}{9}x^^3-8x^2+600x+4000
[/mm]
Ermitteln Sie rechnersich, bei welcher preismengenkobination das Gewinnmaximum erreicht wird.
hmm die Preisabsatzfunktion soll linear sein das heisst das ein sie nicht [mm] x^2 [/mm] sein darf also x anfängt...heißt Sie vielleicht 50x+1200? und die Umsatzfunktiion wär [mm] 50x^2+1200x [/mm] ?
gruß hasso
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> ich wollte den counetschen punkt mal bestimmen
Hallo,
dieser Punkt heißt "der Cournotsche Punkt" - für Prüfungen ist es wichtig, daß man die Fachbegriffe richtig kennt.
> im mathe
> buch steht wenn man ihn rechnerisch ermitteln möchte das
> man eine Extremwertbestimmung zur Ermittlung der
> Gewinnmaximalen Mengedurchgeführt und anschließend diese
> Menge in die Preisabsatzfunktion zur Berechnung der
> entsprechenden Marktpreises eingesetzt.
Da stimmt dann Mathebuch 1:1 mit dem überein, was ich eben gelesen habe.
Gut.
Damit steht ja der Plan fürs weitere Vorgehen.
>
> gegeben : Im letzten Jahr wurden 50 Dachtgepäckträger zu > einem Preis von 1200 DM verkauft. Bei einer preiserhöhung
> um 50 DM wird nach einer Marktforschungsuntersuchung ein
> Rückgang des Absatzes auf 45 Stück erwartet.
> Die Preisabsatzfunktion wird als Linear angenommen
>
> Die Gesamtkostenfunktion
> [mm]K(x)={1}{9}x^^3-8x^2+600x+4000[/mm]
>
> Ermitteln Sie rechnersich, bei welcher
> preismengenkobination das Gewinnmaximum erreicht wird.
>
>
> hmm die Preisabsatzfunktion soll linear sein das heisst das
> ein sie nicht [mm]x^2[/mm] sein darf
Ja, richtig.
Eine lineare Funktion hat immer diese Gestalt: f(x)= 1.konstanter Faktor * x + 2. Konstante,
Beispiele dafür wären f(x)=37x-500 oder f(x)=-0.123x+12345.
Wenn Deine Preis-Absatzfunktion linear sein soll, bedeutet dies, daß sie die Gestalt p(x)=mx+b hat, m und b müssen wir ermitteln.
Nun gucken wir mal, welche Informationen Dein Buch über p(x) liefert.
> Im letzten Jahr wurden 50 Dachtgepäckträger zu einem Preis von 1200 DM verkauft
Aha. Also ist p(50)=1200, d.h. in p(x)=mx+b eingesetzt hat man 1200=m*50+b.
Eine Gleichung mit zwei Unbekannten.
Die nächste Gleichung folgt auf dem Fuße:
> Bei einer preiserhöhung
> um 50 DM wird nach einer Marktforschungsuntersuchung ein
> Rückgang des Absatzes auf 45 Stück erwartet.
Soso. Konkret bedeutet dies: wenn wir 1200+50DM=1250 DM verlangen, verkaufen wir nur noch 50-45=5 Stück.
Dh. p(5)=1250, eingesetzt in p(x)=mx+b hat man 1250=m*5+b.
Aus den beiden Gleichungen
1200=m*50+b
1250=m*5+b
kannst Du m und b ermitteln, und damit steht Deine Preisabsatzfunktion p(x)=mx+b,
aus welcher Du dann leicht Deine Umsatzfunktion bekommst - das kannst Du ja schon.
(Falls Du die Sache mit den linearen Funktionen nacharbeiten möchtest: Geraden und Geradengleichungen, wenn ich mich nicht täusche: Kl.8. Stichworte: Achsenabschnittsform, Punkt-Steigungs-Form, Zweipunkteform der Geradengleichung.)
> also x anfängt...heißt Sie
> vielleicht 50x+1200?
Einen Versuchsballon steigen zu lassen, ist ja manchmal nicht so verkehrt, mache ich auch oft.
Aber: solche Ideen kann und sollte man selbst auf Richtigkeit überprüfen.
Wenn p(x)=50x+1200 Deine Preisabsatzfunktion wäre, müßte ja p(50)=1200 sein, und das ist bei dieser doch offensichtlich nicht der Fall.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Do 14.02.2008 | | Autor: | hasso |
hallo Angela,
ich hab das mal gelöst mir sind 2 methoden eingefallen ich denk es gibt noch einige anderen .. Mit dem gaufßerfahren ging das relativ schnell..
1)50m+1b=1200
2) 5m+1b=1250 |-0,1*1)
2)0m + 0,9b=1130 | /0,9
b= 1255 [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
50m+ 1*1255 [mm] \bruch{5}{9}= [/mm] 1200 |-1255 [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
50m=-55 [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
m= -1 [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
soo
das heisst y= -1 [mm] \bruch{1}{9} [/mm] m +1255 [mm] \bruch{5}{9}b
[/mm]
Preis-absatz-funktion= -1 [mm] \bruch{1}{9} [/mm] x +1255 [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
Dann ist U(x) = -1 [mm] \bruch{1}{9} x^2 [/mm] +1255 [mm] \bruch{5}{9}x
[/mm]
So ich hoffe es stimmt.
hab das auch mit dem prinzip versucht y2-y1 durch x2-x1 und hab das selbe rausbekommen..
Stimmt das so alles könnt ich jetzt den Cournotschen Punkt berechnen?
gruß hasso
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Hallo,
ja, Du hast das richtig ausgerechnet, und Du kannst nun mit der Bestimmung des Gewinnmaximums weitermachen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 14.02.2008 | | Autor: | hasso |
hallo Angela,
Zu berechnung des Counotschen Punkt hab ich die Erste Abgelitung der gewinnfunktion gemacht.
G(x)= [mm] \bruch{-1}{9}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{62}{9}x^2 [/mm] +655 [mm] \bruch{5}{9}-4000
[/mm]
G'(x)= [mm] \bruch{-1}{3}x^2 [/mm] + 13 [mm] \bruch{7}{9} [/mm] +655 [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
so nun hab ich P/q Formel gemacht natürlich hab ich erst durch [mm] \bruch{-1}{3}dividiert. [/mm] Und hab für x1 37535,9 Das wär mein Maximaler Gewinn und für x2 -14516,6 was diese Zahl bedeutet ist mir nicht so ganz Klar...bestimmt nichts gutes :)
okay nun Stand ja das Man die Maximale menge in der Preisabsatzfunktion einsetzen muss.
p(69,5) = [mm] \bruch{-1}{9} [/mm] (69,5) +1255 [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
= 1247 [mm] \bruch{5}{6}
[/mm]
Soo ist das der Counotsche Punkt ???? falls es stimmt ist das ganze ja leichter als ich dachte ;)
gruß hasso und tausend dank für deine HILFE!!
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Hi hasso,
da angela wohl schon schlummert (![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ), übernehme ich mal  !
> G(x)= [mm]\bruch{-1}{9}x^3[/mm] + [mm]\bruch{62}{9}x^2[/mm] +655
> [mm]\bruch{5}{9}-4000[/mm]
>
> G'(x)= [mm]\bruch{-1}{3}x^2[/mm] + 13 [mm]\bruch{7}{9}[/mm] +655
> [mm]\bruch{5}{9}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") -> Außer das du einen kleinen Tippfehler drin hast: $ [mm] 13\bruch{7}{9} [/mm] $x
> so nun hab ich P/q Formel gemacht natürlich hab ich erst
> durch [mm]\bruch{-1}{3}dividiert.[/mm] Und hab für x1 37535,9 Das
> wär mein Maximaler Gewinn und für x2 -14516,6 was diese
> Zahl bedeutet ist mir nicht so ganz Klar...bestimmt nichts
> gutes :)
Das zweite x ist auch ok, nämlich die zweite Nullstelle der nach unten gesenken Grenzgewinnkurve (G'(x))! Du musst dir wieder vor Augen halten, das der ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich hier $ [mm] [0;+\infty] [/mm] $ ist. Soll heißen, das du diesen zweiten Wert zwar algebraisch korrekt gelöst hast, aber das er ökonomisch nicht sinnvoll ist (negativer Gewinn -> negative Produktionsmengen)! Also kannst du diesen Wert vernachlässigen !
> okay nun Stand ja das Man die Maximale menge in der Preisabsatzfunktion einsetzen muss.
> p(69,5) = [mm]\bruch{-1}{9}[/mm] (69,5) +1255 [mm]\bruch{5}{9}[/mm]
> = 1247 [mm]\bruch{5}{6}[/mm]
>
> Soo ist das der Counotsche Punkt ???? falls es stimmt ist
> das ganze ja leichter als ich dachte ;)
*lächel*... Ja, sieht gut aus. Habe das zwar nicht alles nachgerechnet, aber überschlagen stimmt das, und dein Weg ist der Richtige. Ich habe zum besseren Verständnis nochmal eine schöne Grafik für dich herausgekramt. Diese soll dir helfen, das bereits eben errechnete nochmal zu visualisieren:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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