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Cramersche Regel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Do 19.01.2006
Autor: mausi

Aufgabe
Lösen sie mit Hilfe der Cramerschen regel das Gleichungssystem
[mm] 0x_1+1x_2+1x_3-2x_4=-5 [/mm]
[mm] 1x_1+0x_2+1x_3+1x_4=2 [/mm]
[mm] -1x_1+1x_2-2x_3+1x_4=3 [/mm]
[mm] 0x_1+1x_2+2x_3+1x_4=0 [/mm]

Hallo wie löst man das bitte???
Ich weiss wie das geht wenn man Eigenwerte ausrechnen muss aber wie man das Gleichungssystem über diese Regel löst, da kenn ich mich leider noch nicht aus
wäre super wenn das einer erklären könnte
dankeschöön

        
Bezug
Cramersche Regel: Wiki-Link
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Do 19.01.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> Lösen sie mit Hilfe der Cramerschen regel das
> Gleichungssystem
>  [mm]0x_1+1x_2+1x_3-2x_4=-5[/mm]
>  [mm]1x_1+0x_2+1x_3+1x_4=2[/mm]
>  [mm]-1x_1+1x_2-2x_3+1x_4=3[/mm]
>  [mm]0x_1+1x_2+2x_3+1x_4=0[/mm]
>  Hallo wie löst man das bitte???
>  Ich weiss wie das geht wenn man Eigenwerte ausrechnen muss
> aber wie man das Gleichungssystem über diese Regel löst, da
> kenn ich mich leider noch nicht aus
>  wäre super wenn das einer erklären könnte
>  dankeschöön

Ich weiß nicht, ob du unter Cramerscher Regel etwas anderes verstehst, aber []hier müsste es eigentlich verständlich erklärt sein, wie man das macht. Ich schätze, du musst das einfach so der Reihe nach alles berechnen.

Hilft dir das?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
        
Bezug
Cramersche Regel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Do 19.01.2006
Autor: Pacapear

Hi du!

Ich versuch mal, dir das zu erklären. Also du musst zum lösen von Gleichungssystemen die 2. Cramersche Regel benutzen. Dafür musst du Determinanten berechnen. Und du brauchst die Matrix A und den Ergebnisvektor b. Die kann man ja schonmal direkt aus der gegebenen Gleichung ablesen:

A =  [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 } [/mm]

b =   [mm] \vektor{-5 \\ 2 \\ 3 \\ 0 } [/mm]

So, nun musst du als erstes die Determinante von A berechnen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste das 9 sein. Für die Besimmung für [mm] x_1 [/mm] benötigst du noch folgende Matrix:

[mm] A_1 [/mm] =  [mm] \pmat{ -5 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 } [/mm]

Du setzt also für die erste Spaltze der Originalmatrix A den Vektor b ein. Jetzt kannst du [mm] x_1 [/mm] wie folgt bestimmen:

[mm] x_1 [/mm] =  [mm] \bruch{1}{det (A)} [/mm] * det [mm] (A_1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] * 0 = 0

Um [mm] x_2 [/mm] zu berechnen, benötigst du zuerst die Matrix [mm] A_2. [/mm] Diese erhälst du, in dem du den Vektor b in die zweite Spalte der Originalmatrix einsetzt. Und [mm] x_2 [/mm] kannst du dann mit dieser Formel heir berechnen:

[mm] x_2 [/mm] =  [mm] \bruch{1}{det (A)} [/mm]  * det [mm] (A_2) [/mm]

Für [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] gehst du dann nach dem selben Schema vor.

[mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] sind dann die Komponenten des gesuchten Lösungsvektors.

Ich hoffe, ich konnte dir so weit helfen, und dass ich mich nicht verrechnet habe.

LG, Nadine  


Bezug
                
Bezug
Cramersche Regel: Determinanten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Fr 20.01.2006
Autor: mausi

Dankeschöön nochmal ne doofe Frage
Wie kann ich die determinante einer 4 X 4 Matrix einfacher ausrechnen ohne das ich Gauss benutzen muss

dankeschöön

Bezug
                        
Bezug
Cramersche Regel: derzeit schnellste Methode?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Fr 20.01.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo mausi,


> Dankeschöön nochmal ne doofe Frage


Was ist den eine "doofe Frage"? [verwirrt] Ich kenn' nur doofe Antworten. ;-)


>  Wie kann ich die determinante einer 4 X 4 Matrix einfacher
> ausrechnen ohne das ich Gauss benutzen muss


Um ehrlich zu sein, wüßte ich nicht, warum Du beim Ausrechnen der Determinante auf den Gauss-Algo verzichten willst? Soweit wir das in Numerik hatten, ist der Gauss-Algorithmus mit Pivotisierung eines der schnellsten Verfahren um die Determinante einer größeren Matrix zu bestimmen. Aber das ist noch nicht alles! Als zusätzliches Extra bekommst Du bei der Durchführung des Pivot-Gauss-Algorithmus die [mm]LR\texttt{--Zerlegung}[/mm] deiner Matrix "gratis" dazu. :-) Dies ist z.B. nützlich, wenn Du dieselbe quadratische Matrix [mm]A[/mm] aber mehrere Ergebnisvektoren [mm]b_1,b_2,\dotsc[/mm] hast.

Ok, das Ganze sollte eigentlich kein "Verkaufsgespräch" werden. [sorry] Aber glaub' mir mit dem Gauss-Algorithmus "fährst Du" beim Bestimmen der Determinanten "wirklich besser"! ;-)


Wenn Du aber auf diesen "Luxus" verzichten willst, so kannst Du alternativ den []Laplace'schen Entwicklungssatz benutzen.



Grüße
Karl
[user]





Bezug
                        
Bezug
Cramersche Regel: Entwickeln und Sarrus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Fr 20.01.2006
Autor: Pacapear

Um die Determinate einer 4x4-Matrix zu berechnen, würde ich den von Karl vorgeschlagenen Entwicklungssatz benutzen!
Aber nur für eine Ebene!!!
Denn sobald du 3x3-Matrizen hast, kannst du diese superleicht mit der Sarrus-Regel lösen, damit bist zu RuckZuck fertig!

LG, Nadine

Bezug
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