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| Aufgabe | Lösen Sie mit der Cramerschen Regel:
[mm] x_1+x_3=-1
[/mm]
[mm] x_1+ax_2=0
[/mm]
[mm] x_2+ax_3=1 [/mm] |
Hallo,
Wenn ich die Matrix aufstelle:
[mm] \begin{vmatrix}
-1 & 0 & x_3 \\
0 & a & 0 \\
1 & x_2 & a
\end{vmatrix}
[/mm]
= -1aa+0-0-0= -1aa
[mm] \begin{vmatrix}
x_1 & -1 & x_3 \\
x_1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & a
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] =0+0-0-(-1)x_1=(-1)x_1
[/mm]
weiß ich nicht ob dies erst einmal so richtig ist und wie ich dazu die Cramersche Regel benutze.
danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo schnuller,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie mit der Cramerschen Regel:
> [mm]x_1+x_3=-1[/mm]
> [mm]x_1+ax_2=0[/mm]
> [mm]x_2+ax_3=1[/mm]
> Hallo,
> Wenn ich die Matrix aufstelle:
>
> [mm]\begin{vmatrix}
-1 & 0 & x_3 \\
0 & a & 0 \\
1 & x_2 & a
\end{vmatrix}[/mm]
>
> = -1aa+0-0-0= -1aa
>
Gemeint ist wohl
[mm]\begin{vmatrix}
-1 & 0 & \red{1} \\
0 & a & 0 \\
1 & \red{1} & a
\end{vmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{vmatrix}
x_1 & -1 & x_3 \\
x_1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & a
\end{vmatrix}[/mm]
Gemeint ist wohl
[mm]\begin{vmatrix}
\red{1} & -1 & x_3 \\
\red{1} & 0 & 0 \\
0 & 1 & a
\end{vmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]=0+0-0-(-1)x_1=(-1)x_1[/mm]
>
> weiß ich nicht ob dies erst einmal so richtig ist und wie
> ich dazu die Cramersche Regel benutze.
Die Determinanten musst Du nochmal nachrechnen.
Bevor Du ein LGS mit der Cramerschen Regel lösen kannst, muss erst
[mm]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & a & 0 \\
0 & 1 & a
\end{vmatrix}[/mm]
bestimmt werden.
Ist diese Determinante [mm]\not= 0 [/mm], dann kannst Du die Cramersche Regel anwenden.
>
> danke im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Sa 16.08.2008 | | Autor: | schnuller |
Dann lautet die Aufgabe:
[mm] \begin{vmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
0 & a & 0 \\
1 & 1 & a
\end{vmatrix}
[/mm]
= [mm] -1a^2+0-1a-0=-2a^3
[/mm]
[mm] \begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & a
\end{vmatrix}
[/mm]
=0+0-0-(-1)=-1
[mm] x=\bruch{2a^3}{-1}= -2a^3
[/mm]
Ist dies so richtig? Oder hätte ich für a auch eine 1 schreiben müssen?
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> Dann lautet die Aufgabe:
>
> [mm]\begin{vmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
0 & a & 0 \\
1 & 1 & a
\end{vmatrix}[/mm]
>
> = [mm]-1a^2+0-1a-0=-2a^3[/mm]
>
> [mm]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & a
\end{vmatrix}[/mm]
>
> =0+0-0-(-1)=-1
>
> [mm]x=\bruch{2a^3}{-1}= -2a^3[/mm]
>
> Ist dies so richtig? Oder hätte ich für a auch eine 1
> schreiben müssen?
>
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Hallo!
Ehrlich gesagt verstehe ich zunächst nicht, was du berechnest. Die Cramersche Regel lautet:
Sei A die Koeffizientenmatrix eines LGS, und sei [mm] A_{i} [/mm] die "rechte Seite" des LGS (also die Seite ohne Koeffizienten). Falls [mm] \det(A) \not= [/mm] 0 (d.h., das LGS ist eindeutig lösbar, es gibt nur eine Lösung!), so ist die Lösung:
[mm]x_{i} = \bruch{\det(A_{i})}{\det(A)}[/mm]
Du brauchst also, um die Lösungen zu bestimmen, die Determinante von A (wie MathePower schon geschrieben hat), welche du bis jetzt nach meinen Erkenntnissen noch nie ausgerechnet hast! Berechne dann noch die einzelnen Determinanten von [mm] A_{1},A_{2},A_{3}, [/mm] dann kannst du die Lösungen bestimmen.
Gruß,
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Sa 16.08.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo schnuller,
> Dann lautet die Aufgabe:
>
> [mm]\begin{vmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
0 & a & 0 \\
1 & 1 & a
\end{vmatrix}[/mm]
>
> = [mm]-1a^2+0-1a-0=-2a^3[/mm]
Das Zwischenergebnis ist richtig, wurde dann falsch zusammengefasst:
[mm]-1a^2+0-1a-0=-a^{2}-a\not=-2a^3[/mm]
Lese Dir mal die Potenzgesetze durch.
>
> [mm]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & a
\end{vmatrix}[/mm]
>
> =0+0-0-(-1)=-1
Das stimmt leider nicht.
>
> [mm]x=\bruch{2a^3}{-1}= -2a^3[/mm]
>
> Ist dies so richtig? Oder hätte ich für a auch eine 1
> schreiben müssen?
>
a bleibt so wie es ist, da a hier Vorfaktor von [mm]x_{2}[/mm] bzw. [mm]x_{3}[/mm] ist.
Dieser Link ![[]](/images/popup.gif) Cramersche Regel ist Dir bei der Lösung dieses LGS behilflich.
Gruß
MathePower
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Bei der Cramerschen Regel stellst du zunächst die Koeffizientenmatrix A auf, in denen die Koeffizienten der linken Gleichungsseiten ( also von [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3) [/mm] vorkommen, nicht aber die Variablen selber.
A = [mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \\0 & 1 & a }
[/mm]
Die Determinante det A errechnest du bei einer 3*3-Matrix am einfachsten nach der Regel von Sarrus (http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus).
Bei den Lösungsberechnungen kommt dieser Wert immer in den Nenner, und deswegen darf er auch nicht 0 werden.
Um nun eine der 3 Variablen zu berechnen, machst du jeweils folgendes:
Die Spalte in der Koeffizientenmatrix, in der die Koeffizienten der gesuchten Variablen stehen, wird komplett durch die absoluten Zahlen ersetzt (also die Ergebnisse hinterm Gleichheitszeichen). Willst du also [mm] x_2 [/mm] berechnen, ergibt sich
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & a }
[/mm]
(bei [mm] A_1 [/mm] ersetzt du die 1., bei [mm] A_3 [/mm] die 3. Spalte aus A durch -1, 0 und 1).
Nun bestimmst du wieder mit der Regel von Sarrus die Determinante von [mm] A_2, [/mm] dividierst das Ergebnis durch die Determinante von A und erhältst als Ergebnis [mm] x_2. [/mm] Entsprechendes für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3.
[/mm]
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