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| Aufgabe | Wir berachten die DAE (Differential-algebraische Gleichung):
u'(t)=f(t,u(t),v(t)),
0 = g(t,u(t),v(t)),
mit Funktionen [mm] u:\IR \to \IR^{n} [/mm] und [mm] v:\IR \to \IR^{m} [/mm] sowie [mm] f:\IR^{1+n+m} \to \IR^{n} [/mm] und [mm] g:\IR^{1+n+m} \to \IR^{m}. [/mm] Das System soll ohne Transformation auf eine normale AWA (Anfangswertaufgabe) mit dem impliziten Euler-Verfahren approximiert werden.
a) Man formuliere das Newton-Verfahren zum Lösen des nichtlineraren Gleichungssystems in jedem Schritt des impliziten Euler-Verfahrens.
b) Man versuche Bedingungen anzugeben, unter denen die nichtlinearen Systeme mit dem Newton-Verfahren lösbar sind. |
Hallo,
also eigentlich habe ich überhaupt keine Ahnung was ich hier tun soll. Mit Transformation wäre das ja kein Prolem, ich leite die zweite Gleichung ab und erhalten einen Ausdruck mit v' nach dem ich dann auflösen kann, falls alles regulär ist und so weiter.
Jetzt hatten wir in der Vorlesung, dass man ein solches Problem umschreiben kann in das Problem:
[mm] \pmat{ I & 0 \\ 0 & 0 } \vektor{u'(t) \\ v'(t)} [/mm] = [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } \vektor{u(t) \\ v(t)} [/mm] + [mm] \vektor{f \\ g}
[/mm]
mit A [mm] \in \IR^{nxn}, [/mm] B [mm] \in \IR^{nxm}, [/mm] C [mm] \in \IR^{mxn}, [/mm] D [mm] \in \IR^{mxm}
[/mm]
wenn man jetzt das implizite Euler Verfahren anwendet erhält man
[mm] \pmat{ I-hA & -hB \\ -hC & -hD } \vektor{u_{n} \\ v_{n}}=\vektor{u_{n-1}+hf \\ hg}
[/mm]
Aber wo und wie kommt da jetzt das Newton-Verfahren ins Spiel... Ich vermute das das ganze irgendetwas mit der Jacobimatrix zu tun hat...
Ich würde mich über jeden noch so kleinsten Tipp rießig freuen.
(Leider ist das jetzt doch eher eine allgemeine Frage geworden, aber ich stehe so auf dem Schlauch, dass ich gar keinen Anfang sehe...)
Viele Grüße, LMM
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Hallo little-miss-moody,
> Wir berachten die DAE (Differential-algebraische
> Gleichung):
> u'(t)=f(t,u(t),v(t)),
> 0 = g(t,u(t),v(t)),
> mit Funktionen [mm]u:\IR \to \IR^{n}[/mm] und [mm]v:\IR \to \IR^{m}[/mm]
> sowie [mm]f:\IR^{1+n+m} \to \IR^{n}[/mm] und [mm]g:\IR^{1+n+m} \to \IR^{m}.[/mm]
> Das System soll ohne Transformation auf eine normale AWA
> (Anfangswertaufgabe) mit dem impliziten Euler-Verfahren
> approximiert werden.
> a) Man formuliere das Newton-Verfahren zum Lösen des
> nichtlineraren Gleichungssystems in jedem Schritt des
> impliziten Euler-Verfahrens.
> b) Man versuche Bedingungen anzugeben, unter denen die
> nichtlinearen Systeme mit dem Newton-Verfahren lösbar
> sind.
> Hallo,
> also eigentlich habe ich überhaupt keine Ahnung was ich
> hier tun soll. Mit Transformation wäre das ja kein Prolem,
> ich leite die zweite Gleichung ab und erhalten einen
> Ausdruck mit v' nach dem ich dann auflösen kann, falls
> alles regulär ist und so weiter.
> Jetzt hatten wir in der Vorlesung, dass man ein solches
> Problem umschreiben kann in das Problem:
> [mm]\pmat{ I & 0 \\ 0 & 0 } \vektor{u'(t) \\ v'(t)}[/mm] = [mm]\pmat{ A & B \\ C & D } \vektor{u(t) \\ v(t)}[/mm]
> + [mm]\vektor{f \\ g}[/mm]
> mit A [mm]\in \IR^{nxn},[/mm] B [mm]\in \IR^{nxm},[/mm] C
> [mm]\in \IR^{mxn},[/mm] D [mm]\in \IR^{mxm}[/mm]
> wenn man jetzt das
> implizite Euler Verfahren anwendet erhält man
> [mm]\pmat{ I-hA & -hB \\ -hC & -hD } \vektor{u_{n} \\ v_{n}}=\vektor{u_{n-1}+hf \\ hg}[/mm]
Schreibe das doch mal ausführlich hin:
[mm]\pmat{ I-hA & -hB \\ -hC & -hD } \vektor{u_{n} \\ v_{n}}=\vektor{u_{n-1}+hf\left(t_ {n}, \ u_{n}, \ v_{n} \right) \\ hg\left(t_ {n}, \ u_{n}, \ v_{n} \right)}[/mm]
Dann ist in jedem Schritt das Gleichungssytem
[mm]\pmat{ I-hA & -hB \\ -hC & -hD } \vektor{u_{n} \\ v_{n}}+h\vektor{f\left(t_ {n}, \ u_{n}, \ v_{n} \right) \\ g\left(t_ {n}, \ u_{n}, \ v_{n} \right)}=\vektor{u_{n-1} \\ 0}[/mm]
zu lösen.
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> Aber wo und wie kommt da jetzt das Newton-Verfahren ins
> Spiel... Ich vermute das das ganze irgendetwas mit der
> Jacobimatrix zu tun hat...
Da vermutest Du richtig.
> Ich würde mich über jeden noch so kleinsten Tipp rießig
> freuen.
> (Leider ist das jetzt doch eher eine allgemeine Frage
> geworden, aber ich stehe so auf dem Schlauch, dass ich gar
> keinen Anfang sehe...)
>
> Viele Grüße, LMM
Gruss
MathePower
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