DFG-Problem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 10.12.2006 | | Autor: | extral |
| Aufgabe | Folgende Aufgabe soll gelöst werden:
y^(4)-2y´´+4y=0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab die Lösung, nun weis ich nicht ob und wieso Sie richtig ist.
Musterlösung:
char. Polynom: [mm] p(\lambda)=\lambda^4-2\lambda^2+4
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=\wurzel{\bruch{3}{2}}\pm \bruch{i}{\wurzel(2)}
[/mm]
[mm] \lambda_{3,4}=-\wurzel{\bruch{3}{2}}\pm \bruch{i}{\wurzel(2)}
[/mm]
---
[mm] e^{\wurzel{\bruch{3}{2}}+\bruch{i}{\wurzel(2)}}=e^{\wurzel{\bruch{3}{2}}}e^{\bruch{i}{\wurzel{2}}}
[/mm]
=> [mm] e^{\wurzel{\bruch{3}{2}}x}cos(\bruch{x}{\wurzel{2}})
[/mm]
=> [mm] e^{\wurzel{\bruch{3}{2}}x}sin(\bruch{x}{\wurzel{2}})
[/mm]
Bis zu diesem Punkt ist eigentlich alles klar, nur wird [mm] e^{\wurzel{\bruch{3}{2}}-\bruch{i}{\wurzel(2)}} [/mm] einfach weggelassen und als homogene Lösung folgendes angegeben:
[mm] y_h(x)=C_1*e^{\wurzel{\bruch{3}{2}}x}cos(\bruch{x}{\wurzel{2}})+C_2*e^{\wurzel{\bruch{3}{2}}x}sin(\bruch{x}{\wurzel{2}})+C_3*e^{-\wurzel{\bruch{3}{2}}x}cos(\bruch{x}{\wurzel{2}})+C_4*e^{-\wurzel{\bruch{3}{2}}x}sin(\bruch{x}{\wurzel{2}})
[/mm]
Ich möchte wissen ob das so richtig ist, und wenn ja, warum.
Vielen Dank für Antworten im vorraus!
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Es gilt die Eulersche Formel:
[mm] e^{i\phi} [/mm] = [mm] cos\phi [/mm] + [mm] i*sin\phi
[/mm]
Der Rest wird wohl ein Basiswechsel sein.
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