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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Do 25.02.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
kann ich die DGL
[mm] y'-y=e^x [/mm] mit dem ansatz lösen
zuerst die Lösung der homogenen dgl
y'-y=0 finden und dann c als c(x) aufffassen usw.. also lösungen kombinieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Do 25.02.2010 | | Autor: | LouisP |
Hey Quade,
ja, kannst Du machen. Allerdings gibt es zwei Arten, die Lösung der homogenen DGl aufzuschreiben, und einmal geht es ganz einfach weiter, das andere Mal nicht.
Rechne doch mal vor.
Das Ergebnis kennst Du bestimmt schon, oder?
Grüße
Louis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Do 25.02.2010 | | Autor: | quade521 |
ne leider nicht,
ich hab gerechnet
y'-y=0 dann durch y
y'/y -1 =0
dann integrieren
ln(y)+c-x=0
das problem ist, dass sich bei mir dann wenn ich in die ursprüngliche DGL einsetzte das c(x) in der ableitung von y`nicht rauskürzt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Do 25.02.2010 | | Autor: | LouisP |
Hi,
> ne leider nicht,
> ich hab gerechnet
> y'-y=0 dann durch y
> y'/y -1 =0
> dann integrieren
> ln(y)+c-x=0
> das problem ist, dass sich bei mir dann wenn ich in die
> ursprüngliche DGL einsetzte das c(x) in der ableitung von
> y'nicht rauskürzt
Wieso, ist doch ganz gut.
ln(y)+c-x=0
ln(y)=x-c
[mm] y=e^{x-c}
[/mm]
Das stimmt doch schonmal, wenn Du die Probe machst.
Wenn Du allerdings jetzt c als c(x) setzt, kriegst Du eben ein Problem mit der Umformung. Besser ist es, noch einen Schritt weiter zu rechnen:
[mm] y=e^{-c}e^x=Ce^x
[/mm]
Ab hier geht es gut weiter mit C als C(x).
Louis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:26 Fr 26.02.2010 | | Autor: | quade521 |
hallo,
wenn ich aber die e umformung mache wenn ich noch
ln(y)+c auf der linken seite stehen hab ergibt sich bei mir für y= [mm] (e^x)/c
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Disap |
Guten Tag.
> hallo,
> wenn ich aber die e umformung mache wenn ich noch
> ln(y)+c auf der linken seite stehen hab ergibt sich bei mir
> für y= [mm](e^x)/c[/mm]
Zunächst einmal ging es doch um
y' - y = 0 (*)
hier ist y = [mm] e^x [/mm] / c
und damit
y' = [mm] e^x [/mm] / c
Damit ist (*) erfüllt.
Hergeleitet von LouisP war etwas anderes - er ging von
$ln(y)+c-x=0$
aus
Umgestellt ergibt das doch erst einmal
ln(y)= -c+x
Und jetzt wendet man auf beide Seiten die Exp Funktion an, damit erhält man
[mm] e^{ln(y)} [/mm] = [mm] e^{-c+x}
[/mm]
bzw.
y = [mm] e^{-c+x}
[/mm]
denn [mm] e^{ln(y)} [/mm] ist gerade y
Was du gemacht hast, ist aber
ausgehend von ln(y)+c-x=0
auch richtig, denn du ersetzt einfach die Integrationskonstante c durch eine andere Konstante, [mm] c_2
[/mm]
In dem Fall wäre c = [mm] ln(c_2)
[/mm]
Eingesetzt in die Ausgangsgleichung
$ln(y)+c-x= ln(y) + [mm] ln(c_2) [/mm] -x = 0$
Jetzt wendet man ein Logarithmengesetzt an und erhält
$ln(y) + [mm] ln(c_2) [/mm] -x = [mm] ln(y*c_2)-x=0$
[/mm]
umgestellt
[mm] $ln(y*c_2) [/mm] = x$
E-Funktion anwenden
[mm] $e^{ln(y*c_2)} =e^x$
[/mm]
[mm] $y*c_2 [/mm] = [mm] e^x$
[/mm]
Teilen durch [mm] c_2
[/mm]
$y = [mm] e^x [/mm] / [mm] c_2 [/mm] $
Entspricht genau dem, was du gemacht hast.
MfG
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 26.02.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
das ist gut, nur mit der form wie es es aufgeschrieben habe kürzt es sich im nächsten schritt nicht, wenn ich y' bestimem und dann in die ursprüngliche DGL
[mm] y'-y=e^x [/mm] einsetzte...das ist doch komisch oder ?
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natürlich kürzt es sich und du bekommst fürc'(x)=1, somit weisst du dass dein c(x)=x ist =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Do 25.02.2010 | | Autor: | gfm |
Ja, Du kannst y(x)=c(x)z(x) setzen, wobei z(x) die homogene löst. Müßte [mm] (x+k)e^x [/mm] ergeben.
LG
gfm
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