DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Do 21.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe folgendes Problem; ich soll folgende DGL lösen:
Korrektur:
i) [mm] y'_1=\lambda*y-y_2
[/mm]
ii) [mm] y'_2=\lambda*y_2
[/mm]
Anfangswert sei jeweils y(0)=m.
Aus ii) folgt:
[mm] y_2=m*e^{\lambda*x}
[/mm]
Aber wie bestimme ich [mm] y_1?
[/mm]
Kann ich [mm] y_2=e^{\lambda*x} [/mm] in [mm] y_1' [/mm] einsetzen(?):
[mm] y'_1=\lambda*y_1+m*e^{\lambda*x}
[/mm]
Wie löse ich das?
Mit Variation der Konstanten?
Ich komme einfach nicht weiter ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 02:41 Do 21.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo barsch,
bei der 2ten DGL habe ich selbst etwas anderes herausbekommen:
[mm]y'_2=\lambda*y_2[/mm]
[mm]y'_2-\lambda*y_2=0[/mm]
Wenn ich nun [mm]f(x)=-\lambda[/mm] setze, gilt für diese homogene DGL allgemein folgendes:
[mm]y_2=C*e^{-\integral_{}^{}{f(x) dx}}[/mm]
[mm]y_2=C*e^{\bruch{1}{2}*\lambda^2}}[/mm]
Dann die Konstante m berechnen, die trotzdem gleich bleibt:
[mm]m=C*e^{\bruch{1}{2}*\lambda^2}}[/mm]
[mm]C=m[/mm]
[mm]y_2=m*e^{\bruch{1}{2}*\lambda^2}}[/mm]
Diese Gleichung kannst du einfach in die obere einsetzen:
[mm]y'_1=\lambda\*y_1-1+y_2[/mm]
[mm]y'_1=\lambda\*y_1-1+m*e^{\bruch{1}{2}*\lambda^2}}[/mm]
[mm]y'_1-\lambda\*y_1=-1+m*e^{\bruch{1}{2}*\lambda^2}}[/mm]
Jetzt musst du die dazugehörige, homogene DGL lösen (Gleiches Vorgehen wie oben):
[mm]y_1=K*e^{-\integral_{}^{}{f(x) dx}}[/mm]
[mm]y_1=K*e^{\bruch{1}{2}*\lambda^2}}[/mm]
Wie du schon sagtest, kommt jetzt die "Variation der Konstanten", wir setzen also für K die Funktion K(x):
[mm]y_1=K(\lambda)*e^{\bruch{1}{2}*\lambda^2}}[/mm]
[mm]y'_1=K(\lambda)*x*e^{\bruch{1}{2}*\lambda^2}}[/mm]
Leider habe ich beim Einsetzen in die eigentliche Differentialgleichung diesmal das Problem, das [mm]K'(\lambda)-K(\lambda)*x=0[/mm] ergibt und ich die Gleichung nicht weiter auflösen kann. Eine partikuläre Lösung klappt hier leider nicht, da vor dem y keine Konstante sondern eine Funktion steht.
Weil meine Rechnung offenbar einen Fehler hat oder ich falsch herangegangen bin, belasse ich den Status auf "unbeantwortet".
Lieben Gruß,
Dirk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Do 21.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke, ich habe es herausgefunden.
MfG
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Do 21.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
ich dachte lambda sei eine Variable und keine Konstante. Wieder schlauer :)
Lieben Gruß,
Dirk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:22 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Dirk et al
Deine formel ist für ne lineare dgl. mit konst Koeff. zu umständlich, wenn auch nicht falsch.
Allerdings ist [mm] \integral{\lamba dx}=\lambda*x [/mm] und nicht [mm] \lambda^2! [/mm] Bie dir kommt ja für y(x) ne Konstante raus, deren Ableitung ist 0!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo barsch.
Dein Weg ist richtig,
für die y1 Dgl erst wieder die homogene lösen, mit dem ansatz [mm] y_p=A*x*e^{\lambda*x} [/mm] dann die inhomogene. A bestimmen.
Gruss leduart
|
|
|
|
