DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mo 10.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Die Aufgabe soll ich lösen. Differentialgleichungen sind normal nicht mein Problem. Aber da kann ich x und y nicht trennen und eine geeignete Substitution kenne ich auch nicht.
Kann mir jemand nur den Ansatz sagen?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Löse doch zunächst die homogene DGL mit $x*y'-2y \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 10.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Das ist ja das Problem: Nach meinem Verständnis ist diese DGL garnicht homogen. das x stört mich. Sonst hätte ich das charakteristische Polynom aufgestellt. Geht aber nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Die homogene Lösung mit $ [mm] x\cdot{}y'-2y [/mm] \ = \ [mm] \red{0} [/mm] $ kannst Du doch über Trennung der Variablen lösen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mo 10.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Das hat mir geholfen. Danke.
ich habe:
[mm] -2y=x\bruch{dy}{dx} [/mm] <=> [mm] \integral{-\bruch{2y}{dy}}=\integral{\bruch{x}{dx}}
[/mm]
=> ln|2y| = ln |x|+C
Oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Du stellst hier falsch um! Die Differentiale $dx_$ bzw. $dy_$ dürfen nicht im Nenner vorkommen sondern im Zähler:
$$x*y' -2y \ = \ 0$$
$$x*y' \ = \ 2y$$
[mm] $$\bruch{y'}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x}$$
[/mm]
[mm] $$\blue{\integral}\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{\integral}\bruch{dx}{x}$$
[/mm]
usw.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mo 10.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Das kommt davon wenn man nicht richtig konzentriert ist. Sorry.
dann ist
ln|2y| = ln |x| +C
=> 2y=x+C (streng genommen [mm] e^{C}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Wie kommt denn bei Dir die $2_$ wieder auf die linke Seite? Und die Integrationskonstante [mm] $\red{+} [/mm] \ C$ (bzw. [mm] $\red{+} [/mm] \ [mm] e^C$ [/mm] ) ist auch nicht richtig.
Nach dem Umformen muss es $y \ = \ [mm] C*x^2$ [/mm] heißen ( Logarithmusgesetze beachten!).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mo 10.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Jetzt stehe ich totasl auf dem Schlauch. :-(
Aber ich probiere es noch mal von vorne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 10.12.2007 | | Autor: | anna_h |
also ich komme nicht auf dein ergebniss. Kann mir nochmal jemand helfen? Einen kleinen Zwischenschritt. das mit dem +C das steht bei mir so in der Formelsammlung
|
|
|
| |
|
Hallo Anna,
$x*y'-2y = [mm] x^3*sinhx$
[/mm]
Erstmal die homogene DGL lösen:
$x*y'-2y = 0$
[mm] $x*\bruch{dy}{dx} [/mm] = 2y$
[mm] $\bruch{1}{y}*dy [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{x}dx$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{y}\, [/mm] dy [mm] =2*\integral \bruch{1}{x}\, [/mm] dx $
$ln|y| = 2*ln|x| + D$
$ln|y| = [mm] ln\left(x^2\right) [/mm] + D$
$|y| = [mm] x^2*e^D$
[/mm]
$y = [mm] C*x^2$
[/mm]
Damit ist die homogene DGL gelöst.
Und nun weiter mit "Variation der Konstanten":
$y = [mm] C(x)*x^2$
[/mm]
$y' = [mm] C'(x)*x^2+2*C(x)*x$
[/mm]
Einsetzen in die inhomogene DGL ....
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 22.12.2007 | | Autor: | anna_h |
$ln|y| = 2*ln|x| + D$
$ln|y| = [mm] ln\left(x^2\right) [/mm] + D$
kann ich den allgemein sagen:
[mm] c*ln(u)=ln(u^{c})????
[/mm]
Steht nicht in meiner (kleinen) Formelsammlung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Tea |
Hallo!
Ich bin zwar noch nicht bei DGLs, aber vielleicht hilft dir ja eine Antwort, die Loddar mir gegeben hat weiter:
$ [mm] c\cdot{}ln(u)=ln(u^{c})???? [/mm] $
https://matheraum.de/read?i=343728
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Sa 22.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Ja genau. Vielen Dank. Merci.
>
> Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Di 25.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Ich habe:
x*[C´(x)*x²+2C(x)*x]-2C(x)*x²=x³sinh(x)
=> C´(x)*x³=x³*sinh(x)
=> [mm] C(x)=\integral [/mm] sinh(x)
=> C(x)=cosh(x)
Kann das so jemand bestätigen?
vielen Dank und ein frohes Fest
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Di 25.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig! Wie lautet also die Gesamtlösung der DGL?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 26.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Mit der Gesamtlösung bin ich mir extrem unsicher, aber ich hatte:
[mm] y=C_{1}*x²+C_{2}*cosh(x)
[/mm]
als Lösung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Nicht ganz! Wir hatten doch als homogene Lösung erhalten [mm] $y_H [/mm] \ = \ [mm] C*x^2$ [/mm] .
Und durch die Variation der Konstanten haben wir noch erhalten $C(x) \ = \ [mm] \cosh(x)$ [/mm] . Damit ergibt sich als partikuläre Lösung: [mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] \cosh(x)*x^2$ [/mm] .
Und die Gesamtlösung lautet:
$$y \ = \ [mm] y_H+y_P [/mm] \ = \ [mm] C*x^2+\cosh(x)*x^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[\cosh(x)+C\right]*x^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
|
