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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:25 Mi 04.02.2009 | | Autor: | wasistmathe |
| Aufgabe | Man zeige, dass das reelle lineare System
x´=a(t)x-b(t)y
y´=b(t)x+a(t)y
auf eine einzige lineare DGL
z´=c(t)z
für z(t)=x(t)+iy(t) zurückzuführbar ist [mm] (x´=\bruch{d}{dt}x [/mm] etc.). Man leite für v(t)=z(t)z~(t) = [mm] x^2(t)+y^2(t) [/mm] eine lin. DGL ab.
Mit dieser Methode löse man das System:
x´= x cos t - y sin t
y´= x sin t + y cos t |
Hallo zusammen, ich versuche mir das mit den DGl beizubringen aber ich bin an dieser Aufgabe hängen geblieben. Kann mir jemand den Ansatz bzw. die ersten Schritte erklären? das wäre toll!
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> Man zeige, dass das reelle lineare System
> x´=a(t)x-b(t)y
> y´=b(t)x+a(t)y
> auf eine einzige lineare DGL z´=c(t)z
> für z(t)=x(t)+iy(t) zurückführbar ist (x´= [mm]\bruch{d}{dt}x[/mm] etc.).
> Man leite für [mm] v(t)=z(t)\tilde{z}(t) [/mm] = [mm]x^2(t)+y^2(t)[/mm] eine
> lin. DGL ab.
> Mit dieser Methode löse man das System:
> x´= x cos t - y sin t
> y´= x sin t + y cos t
Hallo wasistmathe,
der erste Schritt ist ganz einfach. Wenn z(t)=x(t)+iy(t) ist,
dann gilt auch z'(t)=x'(t)+iy'(t). Setzt man hier die
Ausdrücke mit a(t) und b(t) ein, gelangt man leicht zur
DGL
z'(t)=(a(t)+i*b(t))*z(t)
Also ist c(t)=a(t)+i*b(t). Die entstandene DGL ist einfach
zu lösen: denk an die entsprechenden reellen DGLn
f'(x)=c*f(x) bzw. f'(x)=c(x)*f(x)
LG
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Hallo,
danke dass du mir so schon einmal geholfen hast aber leider komme ich doch nicht weiter, wie gesagt mein wissen über dgl ist erschreckend gering, daher will ich es ja lernen. c(t)=a(t)+ i*b(t) ist die dgl die es zu lösen gilt oder?
kannst du mir vieleicht etwas genauer aufzeigen wie ich weiter vorgehen muss oder es mir an einem Bsp. zeigen? danke im voraus
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Stimmt es, dass wenn c(t) = 0 ist das dann die Gleichung homogen ist?
Wenn dies so ist kann ich sie über Trennung der Veränderlichen lösen oder?
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c(t)=0 gibt natürlich eine triviale DGL, welche nur
konstante Lösungen hat.
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> Hallo,
> danke dass du mir so schon einmal geholfen hast aber
> leider komme ich doch nicht weiter, wie gesagt mein wissen
> über dgl ist erschreckend gering, daher will ich es ja
> lernen. c(t)=a(t)+ i*b(t) ist die dgl die es zu lösen gilt
> oder?
Nein. Dies ist nur die Zusammenfassung der beiden
reellen zu einer komplexen Funktion von t.
Die DGL ist:
$\ z'(t)\ =\ c(t)*z(t)$ (1)
Wie bei analogen reellen DGL kann man hier mit
einem exponentiellen Ansatz zum Ziel kommen:
$\ z(t)\ =\ [mm] e^{f(t)}$ [/mm] (2)
Ableitung:
$\ z'(t)\ =\ [mm] e^{f(t)}*f'(t)$
[/mm]
Gemäss (1) und (2) sollte nun gelten:
$\ z'(t)\ =\ [mm] e^{f(t)}*f'(t)\ [/mm] =\ c(t)*z(t)\ =\ [mm] c(t)*e^{f(t)}$
[/mm]
Also f'(t)=c(t)
f muss also eine Stammfunktion von c sein:
$\ f(t)\ =\ [mm] \integral{c(t)}\, dt\, [/mm] + K$
Und damit erhalten wir eine Lösung der DGL:
$\ z(t)\ =\ [mm] e^{f(t)}\ [/mm] =\ [mm] e^{\integral{c(t)}\, dt\, + K}\ [/mm] =A*\ [mm] e^{\integral{c(t)}\, dt}$
[/mm]
Für das angegebene Beispiel mit c(t)=cos(t)+i*sin(t) ist
dies leicht durchzuführen.
LG Al-Chw.
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