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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Ein Trichter in Kegelform mit rechtwinkligen Öffnungswinkel ist zur Zeit $t = 0$ mit $1$ Liter Wasser gefüllt. Die Ausflussgeschwindigkeit $v = [mm] \bruch{dV}{dt}$ [/mm] ($V$ ist das Volumen von Trichter) sei dem Wasserdruck $p$
an der Öffnung proportional und hat zur Zeit $t = 0$ den Wert $−1 [mm] \bruch{cm^3}{s}$.
[/mm]
a) Stellen Sie mit Hilfe einer DGL ein Modell für das Volumen $V (t)$ des verbliebenen Wassers auf.
b) Lösen Sie diese Differentialgleichung. |
Hallo,
ich bin am verzweifeln. Ich hätte an
$1l + V' * t = V(t)$
gedacht, aber lösen kann ich die DGL nicht.
Über trigonometrische Beziehungen weiß man, dass [mm] $\tan [/mm] 45° = [mm] \bruch{r}{h}$ [/mm] und setzt dies in
$V= [mm] \bruch{1}{3}* \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * h$ ein, dann kann man vllt die DGL lösen.
Liege ich da richtig? Geht es vielleicht einfacher mit den Informationen?
Ich danke dir,
liebe Grüße,
Ana-Lena
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Hallo,
du hast die Sache mit dem Wasserdruck übersehen. Das ist eine Anwendung des hydostatischen Paradoxons, d.h., der Wasserdruck hängt allein von der Wasserhöhe im Kegel ab, diese nimmt aber auf Grund der Kegelform nicht proportional zum verbliebenen Volumen ab. Hilft dir das schon weiter?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 13.11.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Lieber Diophant,
das ist mir auch schon aufgefallen, doch eine DGL würde mir da ein wenig weiter helfen...
Ich danke dir.
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Hallo,
> Lieber Diophant,
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> das ist mir auch schon aufgefallen, doch eine DGL würde
> mir da ein wenig weiter helfen...
>
> Ich danke dir.
>
die DGL aufzustellen ist Teil der Aufgabe. Wie wäre es, wenn du es selbst versuchst? Welche Beziehung besteht zwischen der Wasserhöhe h bzw. dem Druck p und dem noch verbliebenen Volumen V(t), welche Beziehung besteht zwischen der momentanen Geschindigkeit und dem Druck?
Das die Geschwindigkeit die Volumenänderung nach der Zeit ist, hast du ja schon richtig angesetzt. Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem Wasserdruck ist gegeben, jetzt benötigst du noch eine Beziehung zwischen h und V, dann bekommst du eine DGL erster Ordnung.
Die ist jetzt als Anfangswertproblem zu lösen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 13.11.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Lieber Diophant,
die Zeit sitzt mir im Nacken. Da $h=r$ aus dem Öffnungswinkel und Trigo. hängt die Höhe und das Volumen kubisch zusammen,
Also [mm] $h^3 \sim [/mm] V$. Wie bekomme ich die Dinge jetzt zu einer DGL?
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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Hallo,
> Lieber Diophant,
>
> die Zeit sitzt mir im Nacken.
Mir auch, mir auch. Und was ich auch nach über 4 Jahren Mitarbeit in Matheforen immer noch nicht verstanden habe: weshalb soll ich die Aufgabe von anderen Leuten lösen?
> Da [mm]h=r[/mm] aus dem
> Öffnungswinkel und Trigo. hängt die Höhe und das Volumen
> kubisch zusammen,
>
> Also [mm]h^3 \sim V[/mm]. Wie bekomme ich die Dinge jetzt zu einer
> DGL?
Das bekommt man mit elementarsten Mitteln in eine Gleichung:
[mm]h=\wurzel[3]{\bruch{3}{\pi}*V}[/mm]
auf der anderen Seite ist
V'~h
und das sollte jetzt aber schon genügen. Eine Proportionalität mit einem unbekannten Faktor baut man nachg dem Motto ein:
Was macht eigentlich die Mathematikerein, wenn sie mit Zahlen rechnen muss, die sie nicht kennt? Richtig: sie rechnet mit Buchstaben!
Gruß, Diophant
PS: ich für meinen Teil, da kann ich aber auch für viele andere Helfer hier sprechen, mache hier mit aus der Freude daran, Lösungen interessanter Aufgaben im Dialog mit anderen zu erarbeiten. Dabei helfe ich gerne auch über Hürden hinweg, die zu hoch sind. Aber ein wenig Eigeninitiative erwarte ich, sonst gibt es in meinem Leben genügend Menschen und andere Interessen, denen ich meine Zeit sehr gerne widme. Lass dir das vielleicht doch mal ein wenig durch den Kopf gehen.
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