DGLS Matrixexponential < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Sa 26.07.2014 | | Autor: | natural |
Hallo,
ich habe folgendes DGLS gegeben
[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] 3y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}
[/mm]
Es lässt sich schreiben als y´(t) = A*y(t) mit der Koeffizientenmatrix A= [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Das zugehörige Matrixexponential ergibt
[mm] e^{At}=e^{2t} \pmat{ 1+t & -t \\ t & 1-t }
[/mm]
Die Lösung ist korrekt und mit MatLab und WolframAlpha überprüft worden.
Leider habe ich Schwierigkeiten [mm] e^{At} [/mm] zu berechnen.
Es gilt ja: [mm] e^{At} [/mm] = T * [mm] e^{J} [/mm] * [mm] T^{-1}
[/mm]
Matrix At hat doppelten Eigenwert: 2t
Somit ergibt sich die Jordan-Matrix zu [mm] J=\pmat{ 2t & 1 \\ 0 & 2t }
[/mm]
Der Eigenvektor habe ich berechnet mit (At - (2t)*E) [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Es ergibt sich [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \beta \vec{\vektor{1 \\ 1}}
[/mm]
Der zugehörige Hauptvektor habe ich berechnet mit (At - (2t)*E) [mm] \vec{k} [/mm] = [mm] \vec{v}
[/mm]
Es ergibt sich [mm] \vec{k} [/mm] = [mm] \gamma \vec{\vektor{1 \\ 1}} [/mm] + [mm] \vektor{\bruch{1}{t} \\ 0}
[/mm]
Somit kann die Transformationsmatrix T aufgestellt werden zu [mm] T=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]
Die zugehörige Inverse ist [mm] T^{-1}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
Bleibt noch exp(J) zu berechnen.
exp [mm] \pmat{ 2t & 1 \\ 0 & 2t } [/mm] = [mm] e^{2t} [/mm] * exp [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] e^{2t} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ e^{2t} & e^{2t} \\ 0 & e^{2t} }
[/mm]
Schließlich rechne ich
[mm] e^{At} [/mm] = T * [mm] e^{J} [/mm] * [mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ e^{2t} & e^{2t} \\ 0 & e^{2t} } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] = [mm] e^{2t} \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Wie man sehen kann, komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Sitze schon seit Stunden an der Aufgabe, kann mir jemand behilflich sein?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nachtrag:
Wenn ich jeden einzelnen Schritt bei MatLab mir ausgeben lasse,
zeigt es mir als Transformationsmatrix [mm] T=\pmat{ t & 1 \\ t & 0 } [/mm] an.
Dann komme ich auf das richtige Ergebnis.
Aber warum wird der Eigenvektor grad mit t multipliziert? Ist es nicht egal womit man es multipliziert?
Aus der Problematik leitet sich mir die nächste Frage ab, sind die allgemeinen Lösungen von DGLS eindeutig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 So 27.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Deine Matrix T stimmt nicht.
Einfacher gehts so:
tA hat den doppelten Eigenwert 2t. Dann ist nach Cayley-Hamilton
[mm] (tA-2tE)^2=0.
[/mm]
Also [mm] e^{tA}= e^{2t}e^{tA-2tE}= e^{2t}(E+tA-2tE)=e^{2t}((1-2t)E+tA)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 27.07.2014 | | Autor: | natural |
Hallo Fred,
ich kann mit deiner Antwort leider nicht viel anfangen.
Was muss ich denn jetzt genau machen um [mm] T=\pmat{ t & 1 \\ t & 0 } [/mm] zu erhalten?
In eigenen Worten bitte. Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Mo 28.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Ganz besonders einfach ist die Berechnung von [mm] e^B, [/mm] wenn $B$ eine reelle oder komplexe $2 [mm] \times [/mm] 2$ - Matrix mit einem doppelten Eigenwert $s$ ist:
das char. Polynom [mm] P_B [/mm] von B lautet dann
[mm] P_B(\lambda)=(\lambda-s)^2.
[/mm]
Der Satz von Cayley -Hamilton liefert dann:
[mm] 0=P_B(B),
[/mm]
also
[mm] (B-sE)^2=0
[/mm]
($E$ ist die Einheitsmatrix).
Es folgt:
(*) [mm] (B-sE)^n=0 [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$.
Damit bekommen wir:
[mm] e^B=e^{B-sE+sE}=e^s*e^{B-sE}=e^s*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(B-sE)^n}{n!}.
[/mm]
Wegen (*) folgt:
[mm] e^B=e^s*(E+(B-sE))=e^s((1-s)E+B).
[/mm]
Waren meine eigenen Worte verständlich ?
FRED
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Hallo natural,
> Hallo,
>
> ich habe folgendes DGLS gegeben
>
> [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]3y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}[/mm]
> [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm]
>
> Es lässt sich schreiben als y´(t) = A*y(t) mit der
> Koeffizientenmatrix A= [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> Das zugehörige Matrixexponential ergibt
> [mm]e^{At}=e^{2t} \pmat{ 1+t & -t \\ t & 1-t }[/mm]
>
> Die Lösung ist korrekt und mit MatLab und WolframAlpha
> überprüft worden.
>
> Leider habe ich Schwierigkeiten [mm]e^{At}[/mm] zu berechnen.
>
> Es gilt ja: [mm]e^{At}[/mm] = T * [mm]e^{J}[/mm] * [mm]T^{-1}[/mm]
>
> Matrix At hat doppelten Eigenwert: 2t
>
> Somit ergibt sich die Jordan-Matrix zu [mm]J=\pmat{ 2t & 1 \\ 0 & 2t }[/mm]
>
> Der Eigenvektor habe ich berechnet mit (At - (2t)*E)
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Es ergibt sich [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\beta \vec{\vektor{1 \\ 1}}[/mm]
>
> Der zugehörige Hauptvektor habe ich berechnet mit (At -
> (2t)*E) [mm]\vec{k}[/mm] = [mm]\vec{v}[/mm]
>
> Es ergibt sich [mm]\vec{k}[/mm] = [mm]\gamma \vec{\vektor{1 \\ 1}}[/mm] +
> [mm]\vektor{\bruch{1}{t} \\ 0}[/mm]
>
> Somit kann die Transformationsmatrix T aufgestellt werden
> zu [mm]T=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> Die zugehörige Inverse ist [mm]T^{-1}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> Bleibt noch exp(J) zu berechnen.
>
> exp [mm]\pmat{ 2t & 1 \\ 0 & 2t }[/mm] = [mm]e^{2t}[/mm] * exp [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> = [mm]e^{2t}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ e^{2t} & e^{2t} \\ 0 & e^{2t} }[/mm]
>
> Schließlich rechne ich
>
> [mm]e^{At}[/mm] = T * [mm]e^{J}[/mm] * [mm]T^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ e^{2t} & e^{2t} \\ 0 & e^{2t} }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
> = [mm]e^{2t} \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
Zunächst muss die Formel so lauten:
[mm]e^{At} = T *e^{\blue{t}J} *T^{-1}[/mm]
Dabei ist:
[mm]e^{tJ}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}J^{k}[/mm]
,wobei [mm]J^{0}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm].
Für [mm]J^{k}[/mm] ist eine Formel aufzustellen.
> Wie man sehen kann, komme ich nicht auf das richtige
> Ergebnis. Sitze schon seit Stunden an der Aufgabe, kann mir
> jemand behilflich sein?
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Nachtrag:
>
> Wenn ich jeden einzelnen Schritt bei MatLab mir ausgeben
> lasse,
> zeigt es mir als Transformationsmatrix [mm]T=\pmat{ t & 1 \\ t & 0 }[/mm]
> an.
> Dann komme ich auf das richtige Ergebnis.
> Aber warum wird der Eigenvektor grad mit t multipliziert?
> Ist es nicht egal womit man es multipliziert?
> Aus der Problematik leitet sich mir die nächste Frage ab,
> sind die allgemeinen Lösungen von DGLS eindeutig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 27.07.2014 | | Autor: | natural |
>
> Für [mm]J^{k}[/mm] ist eine Formel aufzustellen.
>
Das ist schon klar.
[mm] e^{tJ}= [/mm] exp [mm] \pmat{ 2t & 1 \\ 0 & 2t } [/mm] = [mm] e^{2t} [/mm] * exp [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] e^{2t} [/mm] * ( [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + .... ) = [mm] e^{2t} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Ich brauche nur einen Vorschlag wie man auf T= [mm] \pmat{ t & 1 \\ t & 0 } [/mm] kommt ?!?
Gruß
natural
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Hallo natural,
> >
> > Für [mm]J^{k}[/mm] ist eine Formel aufzustellen.
> >
>
> Das ist schon klar.
>
> [mm]e^{tJ}=[/mm] exp [mm]\pmat{ 2t & 1 \\ 0 & 2t }[/mm] = [mm]e^{2t}[/mm] * exp [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> = [mm]e^{2t}[/mm] * ( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] + [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> + [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + .... ) = [mm]e^{2t}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
Das ist auch nicht richtig.
Im Skript findet sich bestimmt ein Beispiel,
wie sich das Fundamentalsystem bei mehrfachen
Eigenwerten ergibt.
>
> Ich brauche nur einen Vorschlag wie man auf T= [mm]\pmat{ t & 1 \\ t & 0 }[/mm]
> kommt ?!?
>
Das weiss ich leider auch nicht.
> Gruß
> natural
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 So 27.07.2014 | | Autor: | natural |
> > [mm]e^{tJ}=[/mm] exp [mm]\pmat{ 2t & 1 \\ 0 & 2t }[/mm] = [mm]e^{2t}[/mm] * exp [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > = [mm]e^{2t}[/mm] * ( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] + [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > + [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + .... ) = [mm]e^{2t}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> >
>
>
> Das ist auch nicht richtig.
Bitte zeigen Sie mir den Fehler
http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrixexp+%7B%7B2t%2C+1%7D%2C+%7B0%2C+2t%7D%7D
Gruß
natural
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Hallo natural,
> > > [mm]e^{tJ}=[/mm] exp [mm]\pmat{ 2t & 1 \\ 0 & 2t }[/mm] = [mm]e^{2t}[/mm] * exp [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > > = [mm]e^{2t}[/mm] * ( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] + [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > > + [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + .... ) = [mm]e^{2t}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Das ist auch nicht richtig.
>
>
> Bitte zeigen Sie mir den Fehler
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrixexp+%7B%7B2t%2C+1%7D%2C+%7B0%2C+2t%7D%7D
Es muss das MatrixExponential von
[mm]\pmat{2*t & t \\ 0 & 2*t}[/mm]
berechnet werden.
>
> Gruß
> natural
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 27.07.2014 | | Autor: | natural |
> Es muss das MatrixExponential von
>
> [mm]\pmat{2*t & t \\ 0 & 2*t}[/mm]
>
> berechnet werden.
Das Matrix Exponential von [mm] \pmat{2*t & t \\ 0 & 2*t} [/mm] ist [mm] e^{2t} \pmat{1 & t \\ 0 & t}.
[/mm]
Wenn man nun [mm] e^{tA} [/mm] = T * [mm] e^{tJ} [/mm] * [mm] T^{-1} [/mm] rechnet, kommt ein falsches Ergebnis raus.
Ich denke die Matrix [mm] \pmat{2*t & t \\ 0 & 2*t} [/mm] ist nicht korrekt. Die Jordan Form der Matrix [mm] tA=\pmat{3*t & -t \\ t & t} [/mm] ist [mm] tJ=\pmat{2*t & 1 \\ 0 & 2*t}.
[/mm]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Jordan+decomposition+%7B%7B3t%2C+-t%7D%2C%7Bt%2Ct%7D%7D
Gruss
natural
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Hallo natural,
>
> > Es muss das MatrixExponential von
> >
> > [mm]\pmat{2*t & t \\ 0 & 2*t}[/mm]
> >
> > berechnet werden.
>
>
> Das Matrix Exponential von [mm]\pmat{2*t & t \\ 0 & 2*t}[/mm] ist
> [mm]e^{2t} \pmat{1 & t \\ 0 & t}.[/mm]
>
Bei mir ergibt das:
[mm]e^{2t} \pmat{1 & t \\ 0 & \blue{1}}.[/mm]
> Wenn man nun [mm]e^{tA}[/mm] = T * [mm]e^{tJ}[/mm] * [mm]T^{-1}[/mm] rechnet, kommt
> ein falsches Ergebnis raus.
>
> Ich denke die Matrix [mm]\pmat{2*t & t \\ 0 & 2*t}[/mm] ist nicht
> korrekt. Die Jordan Form der Matrix [mm]tA=\pmat{3*t & -t \\ t & t}[/mm]
> ist [mm]tJ=\pmat{2*t & 1 \\ 0 & 2*t}.[/mm]
>
Nein, es ist
[mm] tJ=t\pmat{2 & 1 \\ 0 & 2}=\pmat{2*t & \red{t} \\ 0 & 2*t}[/mm]
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=Jordan+decomposition+%7B%7B3t%2C+-t%7D%2C%7Bt%2Ct%7D%7D
>
> Gruss
> natural
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 So 27.07.2014 | | Autor: | natural |
Lieber MathePower,
jetzt macht alles einen Sinn, habe endlich die korrekte Lösung des DGLS berechnen können.
Vielen vielen Dank nochmal !!!
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