DGL - Lösung geht gegen 0 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:27 Fr 07.06.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es seien [mm] $\alpha,\beta\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] stetige Funktionen mit
[mm] $\lim\limits_{t\to\infty}\beta(t)=0$ [/mm] und [mm] $\sup\limits_{t\in\mathbb{R}}\alpha(t)<0$.
[/mm]
Man zeige, dass jede Lösung [mm] $y\colon [0,\infty)\to\mathbb{R}$ [/mm] der Differenzialgleichung [mm] $y'=\alpha(t)y+\beta(t)$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $\lim\limits_{t\to\infty}y(t)=0$ [/mm] besitzt. |
Hey, weiß jemand von Euch, wie man das beweisen kann?
Vielleicht erstmal die allgemeine Lösung ermitteln? Also erst die der homogenen DGL, dann die der inhomogenen DGL und aus beiden dann die allgemeine Lösung?
Und wenn man die weiß, kann man wohl mit den Annahmen der Aufgabe was anfangen?
Ich habe jedenfalls mal so angefangen und als Lösung
[mm] $y(t)=\exp\left(\int\limits_{\xi}^{t}\alpha(x)\, dx\right)+\int\frac{\beta(t)}{\exp\left(\int\limits_{\xi}^{t}\alpha(x)\, dx\right)}\, dt\cdot\exp\left(\int\limits_{\xi}^{t}\alpha(x)\, dx\right)$
[/mm]
heraus, wobei meiner Meinung nach [mm] $\xi$ [/mm] beliebig aus [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gewählt werden kann und dann fix ist.
Stimmt diese Lösung und falls ja: Strebt sie für [mm] $t\to\infty$ [/mm] gegen 0?
Ich würde mich sehr über Hilfe(n) freuen!
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 So 09.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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