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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL - System lösen
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DGL - System lösen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 So 25.05.2014
Autor: Killercat

Aufgabe
Bestimmen sie die Lösungen des folgenden Systems mit Anfangsbedingungen:
[mm]\begin {cases} x_1' = 4x_1 -3x_2 , x_1(0)= 2 \\ x_2' = 2x_1 -x_2 , x_2 (0) = 1 \end{cases} [/mm]

Guten Morgen,

ich würde mich freuen wenn jemand über meinen Lösungsansatz drüberguckt und evtl sogar noch korrigiert.

Das wäre mein Ansatz im ersten Schritt:
[mm] \binom {x_1'} {x_2'} = \begin {pmatrix} 4 -3 \\ 2 -1 \end {pmatrix} * \binom {x_1} {x_2} [/mm]

Weiter gehts mit dem 'umschreiben' der Matrix:

[mm] A:= \begin {pmatrix} 4 -3 \\ 2 -1 \end {pmatrix} = SJS^-^1 [/mm]
Wobei S die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren sein soll.

Das inverse eben jener Matrix wäre dann der nächste Schritt
Vorher sollte ich evtl noch erwähnen:
Eigenwerte: [mm] \lambda_1 = 1 \\ , \lambda_2 = 2 \\ , V_1 = \binom {1} {1} \\ , V_2 = \binom {3} {2} [/mm]
[mm] \left ( \begin {matrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end {matrix} \left | \begin {matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {matrix} \right ) \right. -> \left ( \begin {matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {matrix} \left | \begin {matrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end {matrix} \right ) \right. [/mm]

Letztlich folgt dann nurnoch der Ansatz:
[mm]exp(tA) = S*exp(tJ) * S^-^1 [/mm] mit J als Diagonalisierte Matrix mit Eigenwerten 2 und 1.

Die Anfangsbedingungen mit eingerechnet komme ich auf folgende Lösung:
[mm] \binom {x_1'}{x_2'} = \binom {-e^t+3e^2^t}{-e^t+2e^2^t} [/mm]
Stimmt das einigermaßen?
Liebe Grüße

        
Bezug
DGL - System lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 So 25.05.2014
Autor: MathePower

Hallo Killercat,

> Bestimmen sie die Lösungen des folgenden Systems mit
> Anfangsbedingungen:
>  [mm]\begin {cases} x_1' = 4x_1 -3x_2 , x_1(0)= 2 \\ x_2' = 2x_1 -x_2 , x_2 (0) = 1 \end{cases}[/mm]
>  
> Guten Morgen,
>  
> ich würde mich freuen wenn jemand über meinen
> Lösungsansatz drüberguckt und evtl sogar noch
> korrigiert.
>  
> Das wäre mein Ansatz im ersten Schritt:
>  [mm]\binom {x_1'} {x_2'} = \begin {pmatrix} 4 -3 \\ 2 -1 \end {pmatrix} * \binom {x_1} {x_2} [/mm]
>  
> Weiter gehts mit dem 'umschreiben' der Matrix:
>  
> [mm]A:= \begin {pmatrix} 4 -3 \\ 2 -1 \end {pmatrix} = SJS^-^1[/mm]
>  
> Wobei S die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren sein
> soll.
>  
> Das inverse eben jener Matrix wäre dann der nächste
> Schritt
>  Vorher sollte ich evtl noch erwähnen:
>  Eigenwerte: [mm] \lambda_1 = 1 \\ , \lambda_2 = 2 \\ , V_1 = \binom {1} {1} \\ , V_2 = \binom {3} {2}[/mm]
>  
> [mm]\left ( \begin {matrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end {matrix} \left | \begin {matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {matrix} \right ) \right. -> \left ( \begin {matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {matrix} \left | \begin {matrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end {matrix} \right ) \right. [/mm]
>  
> Letztlich folgt dann nurnoch der Ansatz:
>  [mm]exp(tA) = S*exp(tJ) * S^-^1[/mm] mit J als Diagonalisierte
> Matrix mit Eigenwerten 2 und 1.
>  
> Die Anfangsbedingungen mit eingerechnet komme ich auf
> folgende Lösung:
>  [mm]\binom {x_1'}{x_2'} = \binom {-e^t+3e^2^t}{-e^t+2e^2^t}[/mm]
>  


Das sollte doch lieber so geschrieben werden:

[mm]\binom {x_1}{x_2} = \binom {-e^t+3e^2^t}{-e^t+2e^2^t}[/mm]

Sonst stimmt  alles. [ok]


> Stimmt das einigermaßen?
>  Liebe Grüße


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL - System lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 So 25.05.2014
Autor: Killercat

Okay, vielen dank :)

Liebe Grüße

Bezug
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