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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 1.Ordnung allg. Lösung
DGL 1.Ordnung allg. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 1.Ordnung allg. Lösung: lösung der homogenen gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Di 26.01.2010
Autor: haxenpeter

Aufgabe
Berechnen sie die allg. Lösung der DGL:
[mm] y`+\bruch{2-3x^2}{x^3}*y=1, x\not=0 [/mm]

so:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{dy}{y}= -\integral_{}^{}\bruch{2-3x^2}{x^3}*dx [/mm]

meine frage. wie löse ich das integral? irgentwie komm ich da nicht weiter. danke schonmal

        
Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Di 26.01.2010
Autor: erlkoenig

Ich würde das rechte Integral mit ner Partalbruchzerlegung erstmal bearbeiten dass machts wesentlich einfacher und handlicher.

Die Frage ist dürft ihr sowas, kannst du das?

Ansonsten mit Substitution. Ist aber finde ich komplizierter.

Lg

Bezug
                
Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Di 26.01.2010
Autor: haxenpeter

ja mit der partialbruchzerlegung habe ich es versucht. aber ich bekomm das nicht hin. kannst du mir da vielleicht helfen?

Bezug
                        
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DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Di 26.01.2010
Autor: Herby

Hallo,

> ja mit der partialbruchzerlegung habe ich es versucht. aber
> ich bekomm das nicht hin. kannst du mir da vielleicht
> helfen?


du brauchst hier keine Partialbruchzerlegung

[mm] \bruch{2-3x^2}{x^3}=\bruch{2}{x^3}-\bruch{3x^2}{x^3} [/mm]


Damit hast du zwei einfache Integrale :-)


Lg
Herby

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Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Di 26.01.2010
Autor: haxenpeter

so ich habs intergriert und bekomme folgendes raus
[mm] ln|y|=\bruch{1}{x^2}+ln|x^3|+C [/mm]
[mm] e^ln|y|=e^x^-2+ln|x^3|+C [/mm]
y=x^-2 [mm] *x^3 [/mm] *C1
y= [mm] \bruch{x^3}{x^2}*C1 [/mm]
y= x*C1=C1*x
y= C1(x)*x
y'=C1'(x) *x+C1(x) *1
C´1(x) [mm] *x+C1(x)+\bruch{2-3x^2}{x^3}*C1(x)*x=1 [/mm]

wo is mein Fehler, ich komm da nicht weiter?

Bezug
                                        
Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Di 26.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo haxenpeter,

> so ich habs intergriert und bekomme folgendes raus
>  [mm]ln|y|=\bruch{1}{x^2}+ln|x^3|+C[/mm] [ok]
>  [mm]e^ln|y|=e^x^-2+ln|x^3|+C[/mm]

Setze bitte Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern.

Du meinst: [mm] $e^{\ln|y|}=e^{x^{-2}+\ln|x^3|+C}$ [/mm]

>  y=x^-2 [mm]*x^3[/mm] *C1 [haee]

Wegen [mm] $a^{m+n}=a^m\cdot{}a^n$ [/mm] ergibt sich also:

[mm] $|y|=e^{-x^2}\cdot{}|x^3|\cdot{}e^C$ [/mm]

Also [mm] $y=\tilde{C}\cdot{}e^{-x^2}\cdot{}x^3$ [/mm] mit [mm] $\tilde{C}\in\IR$ [/mm]

Nun VdK ...

>  y= [mm]\bruch{x^3}{x^2}*C1[/mm]
>  y= x*C1=C1*x
> y= C1(x)*x
>  y'=C1'(x) *x+C1(x) *1
>  C´1(x) [mm]*x+C1(x)+\bruch{2-3x^2}{x^3}*C1(x)*x=1[/mm]
>  
> wo is mein Fehler, ich komm da nicht weiter?


LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Di 26.01.2010
Autor: haxenpeter

so ok so weit bin ich schon gekommen.die ableitung von dem was du mir gegeben hast ist:
[mm] y^I=-2* C1^I(x)*e^{x-2}*x^3+C1(x)*e^{x^-2}*3x^2 [/mm]

is das so richtig?


Bezug
                                                        
Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Di 26.01.2010
Autor: MathePower

Hallo haxenpeter,

> so ok so weit bin ich schon gekommen.die ableitung von dem
> was du mir gegeben hast ist:
>  [mm]y^I=-2* C1^I(x)*e^{x-2}*x^3+C1(x)*e^{x^-2}*3x^2[/mm]


Ich nehme an das "I" steht für die erste Ableitung.

Dann muss Du das nochmal nachrechnen.


>
> is das so richtig?

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                                
Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Di 26.01.2010
Autor: haxenpeter

ja I steht für die erste ableitung. wie leitet man es denn richtig ab? mit der produktregel?es sind ja 3 faktoren die miteinander multipliziert werden.

Bezug
                                                                        
Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Di 26.01.2010
Autor: MathePower

Hallo haxenpeter,

> ja I steht für die erste ableitung. wie leitet man es denn
> richtig ab? mit der produktregel?es sind ja 3 faktoren die
> miteinander multipliziert werden.

Die Ableitung geschieht hier mit der Produktregel.

Diese ist erstmal nur für zwei Faktoren definiert.

Ist hier [mm]f\left(x\right)=u\left(x\right)*v\left(x\right)*v\left(x\right)[/mm]

Dann ist

[mm]f'\left(x\right)=u'\left(x\right)*\left( \ v\left(x\right)*w\left(x\right) \ \right)+u\left(x\right)*\left( \ v\left(x\right)*w\left(x\right) \ \right)'[/mm]

Eine nochmalige Anwendung der Produktregel führt zur endgültigen Form.


Gruss
MathePower

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DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Di 26.01.2010
Autor: fred97


> Berechnen sie die allg. Lösung der DGL:
>  [mm]y'+\bruch{2-3x^2}{x^3}*y=1, x\not=0[/mm]
>  
> so:
>  [mm]\integral_{}^{}\bruch{dy}{y}= -\integral_{}^{}\bruch{2-3x^2}{x^3}*dx[/mm]
>  
> meine frage. wie löse ich das integral? irgentwie komm ich
> da nicht weiter. danke schonmal



Du hast ja schon einiges gesagt bekommen, aber Deine Gleichung lautet:

              [mm] $y'+\bruch{2-3x^2}{x^3}*y=1$ [/mm]


Oben hast Du die 1 unterschlagen !!


FRED

Bezug
                
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DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Di 26.01.2010
Autor: Herby

Hallo Fred,

es sollte doch sicher zunächst die homogene DGL gelöst werden :-)


LG
Herby

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Bezug
DGL 1.Ordnung allg. Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Di 26.01.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> es sollte doch sicher zunächst die homogene DGL gelöst
> werden :-)
>  
>
> LG
>  Herby


Hallo Herby,

Du hast recht. Da stand ich mal zur Abwechslung, wie heißt es immer so schön, auf em Schlauch.

FRED

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