DGL 1. O nach Euler < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Di 17.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Löse die DGL
[mm] y'=-\bruch{1}{x}y+\bruch{1}{x^2} y^{-2} [/mm] |
Diese Gleichung sieht für mich wie eine Euler DGL 1. Ordnung aus.
Hier gibt es ja die Standardsubst. [mm] z(x)=(y(x))^{1-\alpha}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] ist in meinem Fall ja -2, also lautet die Subst. [mm] z(x)=y(x)^3 [/mm] und z' ist 3y^2y'
nur wie setze ich diese Substitution am geschicktesten in die Gleichung ein. Die Gleichung sollte dann ja linear werden, oder? ich habe es nicht hinbekommen...
lg
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Hallo chrisi99,
> Löse die DGL
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> [mm]y'=-\bruch{1}{x}y+\bruch{1}{x^2} y^{-2}[/mm]
> Diese Gleichung
> sieht für mich wie eine Euler DGL 1. Ordnung aus.
Das ist ne Bernoulli-Dgl
>
> Hier gibt es ja die Standardsubst. [mm]z(x)=(y(x))^{1-\alpha}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] ist in meinem Fall ja -2, also lautet die Subst.
> [mm]z(x)=y(x)^3[/mm] und z' ist 3y^2y'
Du kannst es dir quasi herleiten: Multipliziere die Ausgangsdgl mit [mm] $\frac{1}{3}y^2$
[/mm]
Das gibt [mm] $\frac{1}{3}y^2\cdot{}y'=-\frac{1}{3x}y^3+\frac{1}{3x^2}$
[/mm]
Dann kannst du substituieren [mm] $z:=y^3$
[/mm]
Dann ist nämlich [mm] $z'=\frac{1}{3}y^2\cdot{}y'$ [/mm] nach Kettenregel !
und du bekommst die gewünschte lineare Dgl in z
[mm] $z'=-\frac{1}{3x}z+\frac{1}{3x^2}$
[/mm]
>
> nur wie setze ich diese Substitution am geschicktesten in
> die Gleichung ein. Die Gleichung sollte dann ja linear
> werden, oder? ich habe es nicht hinbekommen...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Mi 18.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
$ [mm] z'=\frac{1}{3}y^2\cdot{}y' [/mm] $
müsste hier nicht [mm] 3y^2\cdot{}y'
[/mm]
stehen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo chrisi!
Du hast Recht ... gut aufgepasst. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Mi 18.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
oke, jetzt haut es auch hin :D
danke!
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