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| Aufgabe | Solve
[mm] $y'=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}$. [/mm] |
Hallo,
ich habe etwas Probleme mit dieser DGL. Zuerst hatte ich einmal versucht:
$y=x*v(x)$
$y'=v+xv'$
[mm] $v+xv'=\wurzel{\frac{5-6v}{5+6v}}$
[/mm]
[mm] $xv'=\frac{\wurzel{5-6v}-v\wurzel{5+6v}}{\wurzel{5+6v}}$
[/mm]
[mm] $\int \bruch{\wurzel{5+6v}}{\wurzel{5-6v}-v\wurzel{5+6v}}\;dv [/mm] = [mm] \int \bruch{1}{x}\;dx$
[/mm]
[mm] $\int \bruch{\wurzel{25-36v^2}+5v+6v^2}{5-6v-5v^2-6v^3)}\;dv [/mm] = [mm] \int \bruch{1}{x}\;dx$
[/mm]
Aber das kann ich nicht integrieren. (Mein CAS auch nicht.)
Dann stand im Anhang noch ein Lösungshinweis:
[mm] $u=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}$.
[/mm]
Das habe ich als Substitution aufgefasst und probiert y' durch f(u,u') zu ersetzen, was aber nicht geht:
[mm] $u'(x)=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{(5x+6y)(5-6y')-(5x-6y)(5+6y')}{(5x+6y)^2}$
[/mm]
[mm] $u'(x)=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{(5-6y')-u^2(5+6y')}{5x+6y}=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{5(1-u^2)-6y'(1+u^2)}{5x+6y}$
[/mm]
[mm] $y'=\bruch{2\wurzel{u}u'(5x+6y)-5(1-u^2)}{6(1+u^2)}$
[/mm]
Hätte jemand einen Lösungsansatz?
Vielen Dank,
Martinius
P.S.
Die Lösung steht auch im Anhang:
[mm] $u=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}$
[/mm]
[mm] $ln|x|=ln|u^2+1|-\frac{16}{31}*ln|2u-1|-\frac{23}{31}*ln|3u^2+4u+5|-\frac{68}{31\wurzel{11}}*arctan\left( \frac{3u+2}{\wurzel{11}}\right)$
[/mm]
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Hallo Martinius,
> Solve
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> [mm]y'=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}[/mm].
> Hallo,
>
> ich habe etwas Probleme mit dieser DGL. Zuerst hatte ich
> einmal versucht:
>
> [mm]y=x*v(x)[/mm]
>
> [mm]y'=v+xv'[/mm]
>
> [mm]v+xv'=\wurzel{\frac{5-6v}{5+6v}}[/mm]
>
> [mm]xv'=\frac{\wurzel{5-6v}-v\wurzel{5+6v}}{\wurzel{5+6v}}[/mm]
>
> [mm]\int \bruch{\wurzel{5+6v}}{\wurzel{5-6v}-v\wurzel{5+6v}}\;dv = \int \bruch{1}{x}\;dx[/mm]
>
> [mm]\int \bruch{\wurzel{25-36v^2}+5v+6v^2}{5-6v-5v^2-6v^3)}\;dv = \int \bruch{1}{x}\;dx[/mm]
>
>
> Aber das kann ich nicht integrieren. (Mein CAS auch
> nicht.)
Das Problem wird hier der Wurzelausdruck im Zähler sein.
>
>
> Dann stand im Anhang noch ein Lösungshinweis:
>
> [mm]u=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}[/mm].
>
> Das habe ich als Substitution aufgefasst und probiert y'
> durch f(u,u') zu ersetzen, was aber nicht geht:
>
> [mm]u'(x)=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{(5x+6y)(5-6y')-(5x-6y)(5+6y')}{(5x+6y)^2}[/mm]
>
> [mm]u'(x)=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{(5-6y')-u^2(5+6y')}{5x+6y}=\frac{1}{2\wurzel{u}}*\frac{5(1-u^2)-6y'(1+u^2)}{5x+6y}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{2\wurzel{u}u'(5x+6y)-5(1-u^2)}{6(1+u^2)}[/mm]
>
Du mußt ja auch noch y ersetzen.
Nach meiner Rechnung ist [mm]y=\bruch{5x}{6}*\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}[/mm]
Zur Ableitung:
[mm]u^{2}=\bruch{5x-6y}{5x+6y}[/mm]
[mm]\Rightarrow 2u*u'=\bruch{\left(5-6y'\right)*\left(5x+6y\right)-\left(5x-6y\right)*\left(5+6y'\right)}{\left(5x+6y\right)^{2}}[/mm]
[mm]\gdw 2u*u'=\bruch{25x+30y-30y'x-36yy'-\left(25x+30xy'-30y-36yy')}{\left(5x+6y\right)^{2}}[/mm]
[mm]\gdw 2u*u'=\bruch{60y-60y'x}{\left(5x+6y\right)^{2}}[/mm]
[mm]\gdw y' = \bruch{1}{60x}*\left(60y-\left(5x+6y\right)^{2}2u*u'\right)[/mm]
Und nun noch [mm]5x+6y[/mm] durch [mm]5 x*\bruch{2}{1+u^{2}}[/mm]
sowie y durch [mm]\bruch{5x}{6}*\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}[/mm] ersetzen.
> Hätte jemand einen Lösungsansatz?
>
> Vielen Dank,
>
> Martinius
>
>
> P.S.
>
> Die Lösung steht auch im Anhang:
>
> [mm]u=\wurzel{\frac{5x-6y}{5x+6y}}[/mm]
>
> [mm]ln|x|=ln|u^2+1|-\frac{16}{31}*ln|2u-1|-\frac{23}{31}*ln|3u^2+4u+5|-\frac{68}{31\wurzel{11}}*arctan\left( \frac{3u+2}{\wurzel{11}}\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
vielen Dank!
LG, Martinius
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