DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prove that if a differential equation
M dx + N dy = 0
is both exact and homogeneous, then its solution is
Mx + Ny = C .
Illustrate by using the differential equation
[mm] $(x^2+y^2)dx [/mm] + [mm] 2xy\;dy=0$ [/mm] |
Hallo,
der Autor versteht unter einer homogenen DGL eine DGL der Form
[mm] $y'=-\frac{M}{N}=f\left(\frac{y}{x} \right)$ [/mm] .
Ich habe schon etwas herumgerechnet aber ich finde hier keinen Ansatz bei dieser Aufgabe.
Ich habe
[mm] $M_y=N_x$ [/mm] .
Ich dachte u.a. an
[mm] $y'=-\frac{M}{N}=-f\left(\frac{y}{x} \right)=-f(v)$ [/mm]
$v+xv'=-f(v)$
[mm] $\int\frac{1}{f(v)+v} \;dv= -\int\frac{1}{x} \;dx$
[/mm]
aber das geht ja nicht.
Von der Lösung her brachte mich auch nicht weiter:
$F(x,y)=xM+yN=C$
[mm] $dF=(xM_x+M+yN_x)dx+(xM_y+N+yN_y)dy=0$
[/mm]
[mm] $xM_x=-yM_y$ [/mm] und [mm] $xM_y=-yN_y$
[/mm]
[mm] $\frac{M_x}{M_y}=\frac{M_y}{N_y}$
[/mm]
[mm] $M_xN_y=M_yN_x$
[/mm]
[mm] $M_xN_y=M_y^2=N_x^2$
[/mm]
Aber das geht wohl auch in die Irre.
Besten Dank für einen Hinweis.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Prove that if a differential equation
>
> M dx + N dy = 0
>
> is both exact and homogeneous, then its solution is
>
> Mx + Ny = C .
>
> Illustrate by using the differential equation
>
> [mm](x^2+y^2)dx + 2xy\;dy=0[/mm]
> Hallo,
>
> der Autor versteht unter einer homogenen DGL eine DGL der
> Form
>
> [mm]y'=-\frac{M}{N}=f\left(\frac{y}{x} \right)[/mm] .
>
>
> Ich habe schon etwas herumgerechnet aber ich finde hier
> keinen Ansatz bei dieser Aufgabe.
>
> Ich habe
>
> [mm]M_y=N_x[/mm] .
>
> Ich dachte u.a. an
>
> [mm]y'=-\frac{M}{N}=-f\left(\frac{y}{x} \right)=-f(v)[/mm]
>
> [mm]v+xv'=-f(v)[/mm]
>
> [mm]\int\frac{1}{f(v)+v} \;dv= -\int\frac{1}{x} \;dx[/mm]
>
> aber das geht ja nicht.
>
>
> Von der Lösung her brachte mich auch nicht weiter:
>
> [mm]F(x,y)=xM+yN=C[/mm]
>
> [mm]dF=(xM_x+M+yN_x)dx+(xM_y+N+yN_y)dy=0[/mm]
>
> [mm]xM_x=-yM_y[/mm] und [mm]xM_y=-yN_y[/mm]
>
> [mm]\frac{M_x}{M_y}=\frac{M_y}{N_y}[/mm]
>
> [mm]M_xN_y=M_yN_x[/mm]
>
> [mm]M_xN_y=M_y^2=N_x^2[/mm]
>
> Aber das geht wohl auch in die Irre.
>
> Besten Dank für einen Hinweis.
Verifiziert man das an dem genannten Beispiel,
so kommt man zu dem Schluss, daß da irgendetwas nicht stimmt.
Denn zu
[mm](x^2+y^2)dx + 2xy\;dy=0[/mm]
ist die Stammfunktion
[mm]\bruch{1}{3}*x^{3}+y^{2}*x=C[/mm]
Damit ist
[mm]\bruch{1}{3}*x^{3}+y^{2}*x\not=\left(x^{2}+y^{2}\right)*x+\left(2xy\right)*y[/mm]
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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Hallo Mathe Power,
> Hallo Martinius,
>
>
> > Prove that if a differential equation
> >
> > M dx + N dy = 0
> >
> > is both exact and homogeneous, then its solution is
> >
> > Mx + Ny = C .
> >
> > Illustrate by using the differential equation
> >
> > [mm](x^2+y^2)dx + 2xy\;dy=0[/mm]
> > Hallo,
> >
> > der Autor versteht unter einer homogenen DGL eine DGL der
> > Form
> >
> > [mm]y'=-\frac{M}{N}=f\left(\frac{y}{x} \right)[/mm] .
> >
> >
> > Ich habe schon etwas herumgerechnet aber ich finde hier
> > keinen Ansatz bei dieser Aufgabe.
> >
> > Ich habe
> >
> > [mm]M_y=N_x[/mm] .
> >
> > Ich dachte u.a. an
> >
> > [mm]y'=-\frac{M}{N}=-f\left(\frac{y}{x} \right)=-f(v)[/mm]
> >
> > [mm]v+xv'=-f(v)[/mm]
> >
> > [mm]\int\frac{1}{f(v)+v} \;dv= -\int\frac{1}{x} \;dx[/mm]
> >
> > aber das geht ja nicht.
> >
> >
> > Von der Lösung her brachte mich auch nicht weiter:
> >
> > [mm]F(x,y)=xM+yN=C[/mm]
> >
> > [mm]dF=(xM_x+M+yN_x)dx+(xM_y+N+yN_y)dy=0[/mm]
> >
> > [mm]xM_x=-yM_y[/mm] und [mm]xM_y=-yN_y[/mm]
> >
> > [mm]\frac{M_x}{M_y}=\frac{M_y}{N_y}[/mm]
> >
> > [mm]M_xN_y=M_yN_x[/mm]
> >
> > [mm]M_xN_y=M_y^2=N_x^2[/mm]
> >
> > Aber das geht wohl auch in die Irre.
> >
> > Besten Dank für einen Hinweis.
>
>
> Verifiziert man das an dem genannten Beispiel,
> so kommt man zu dem Schluss, daß da irgendetwas nicht
> stimmt.
>
> Denn zu
>
> [mm](x^2+y^2)dx + 2xy\;dy=0[/mm]
>
> ist die Stammfunktion
>
> [mm]\bruch{1}{3}*x^{3}+y^{2}*x=C[/mm]
>
> Damit ist
>
> [mm]\bruch{1}{3}*x^{3}+y^{2}*x\not=\left(x^{2}+y^{2}\right)*x+\left(2xy\right)*y[/mm]
>
>
> >
> > LG, Martinius
>
>
> Gruß
> MathePower
Ich dachte das wäre nur ein Unterschied bzgl. der Konstanten:
[mm] $\bruch{1}{3}*x^{3}+xy^{2}=C$
[/mm]
[mm] $\left(x^{2}+y^{2}\right)*x+\left(2xy\right)*y=x^3+xy^2+2xy=x^3+3xy^2=C'$ |*\frac{1}{3}
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{3}*x^{3}+xy^{2}=\frac{1}{3}*C'$
[/mm]
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo Mathe Power,
>
> > Hallo Martinius,
> >
> >
> >
> >
> > Verifiziert man das an dem genannten Beispiel,
> > so kommt man zu dem Schluss, daß da irgendetwas nicht
> > stimmt.
> >
> > Denn zu
> >
> > [mm](x^2+y^2)dx + 2xy\;dy=0[/mm]
> >
> > ist die Stammfunktion
> >
> > [mm]\bruch{1}{3}*x^{3}+y^{2}*x=C[/mm]
> >
> > Damit ist
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{3}*x^{3}+y^{2}*x\not=\left(x^{2}+y^{2}\right)*x+\left(2xy\right)*y[/mm]
> >
> >
> > >
> > > LG, Martinius
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
> Ich dachte das wäre nur ein Unterschied bzgl. der
> Konstanten:
>
> [mm]\bruch{1}{3}*x^{3}+xy^{2}=C[/mm]
>
> [mm]\left(x^{2}+y^{2}\right)*x+\left(2xy\right)*y=x^3+xy^2+2xy=x^3+3xy^2=C'[/mm]
> [mm]|*\frac{1}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}*x^{3}+xy^{2}=\frac{1}{3}*C'[/mm]
>
> LG, Martinius
Nun, gut, da magst Du recht haben, trotzdem kann ich das in der Aufgabe genannte Ergebnis
[mm] M*x + N*y = C[/mm]
nicht nachvollziehen.
Ich komme hier letztendlich immer auf eine Integraldarstellung:
[mm]F=\integral_{}^{}{M \ dx}+C_{1}[/mm]
bzw.
[mm]F=\integral_{}^{}{N \ dy}+C_{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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