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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 1. Ordnung
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DGL 1. Ordnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Mi 12.09.2012
Autor: sardelka

Hallo,

folgendes Anfangswertproblem ist zu lösen:

y' = [mm] \bruch{e^{y}}{xlnx} [/mm]

y(e) = 1

Meine Rechenschritte:

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{e^{y}}{xlnx} [/mm]

[mm] \integral{\bruch{1}{e^{y}}}dy [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{xlnx}}dx [/mm]

[mm] -e^{-y} [/mm] = ln |ln x| + c
[mm] e^{-y} [/mm] = - (ln |ln x| + c)
-y =  ln (- (ln |ln x| + c))
y = - ln (- (ln |ln x| + c))

y(e) = 1 = - ln (-(ln |ln e| + c))          (Äquivalenzumformung: [mm] e^{...}) [/mm]
e = ln |ln e| + c                          (Äquivalenzumformung: [mm] e^{...}) [/mm]
[mm] e^{e}= [/mm] 1 + c          (Äquivalenzumformung: [mm] e^{...} [/mm] und -1)
[mm] e^{e}^{e} [/mm] -1 = c

Ich bezweifel sehr, dass ich für die Konstante das Richtige raus habe.
Kann bitte jemand berichtigen?

Vielen Dank im Voraus
LG




        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Mi 12.09.2012
Autor: MathePower

Hallo sardelka,

> Hallo,
>  
> folgendes Anfangswertproblem ist zu lösen:
>
> y' = [mm]\bruch{e^{y}}{xlnx}[/mm]
>  
> y(e) = 1
>  
> Meine Rechenschritte:
>  
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{e^{y}}{xlnx}[/mm]
>  
> [mm]\integral{\bruch{1}{e^{y}}}dy[/mm] =
> [mm]\integral{\bruch{1}{xlnx}}dx[/mm]
>  
> [mm]-e^{-y}[/mm] = ln |ln x| + c
>  [mm]e^{-y}[/mm] = - (ln |ln x| + c)
>  -y =  ln (- (ln |ln x| + c))
>  y = - ln (- (ln |ln x| + c))
>  
> y(e) = 1 = - ln (-(ln |ln e| + c))          


Hier steht dann:

[mm]1=- ln (-(ln\left(\blue{1}\right) + c))=- ln (-c))[/mm]


> (Äquivalenzumformung: [mm]e^{...})[/mm]
>  e = ln |ln e| + c          


> (Äquivalenzumformung: [mm]e^{...})[/mm]
>  [mm]e^{e}=[/mm] 1 + c          (Äquivalenzumformung: [mm]e^{...}[/mm] und
> -1)
>  [mm]e^{e}^{e}[/mm] -1 = c
>  
> Ich bezweifel sehr, dass ich für die Konstante das
> Richtige raus habe.
> Kann bitte jemand berichtigen?
>  
> Vielen Dank im Voraus
>  LG
>  


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Mi 12.09.2012
Autor: fred97

Ergänzend:

manchmal ist es vorteilhaft, die Konstante so früh wie möglich zu bestimmen. In Deinem Fall schon hier:

   $ [mm] -e^{-y} [/mm] $ = ln |ln x| + c

Für x=e und y=1 bekommst Du sofortc=-1/e

FRED

Bezug
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