DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Di 25.09.2012 | | Autor: | winty |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y=y(x) von
[mm] x^2*y'+2*x*y=2x [/mm] |
Bekomme zwei unterschiedliche Lösungen:
1.:
[mm] x^2*y'+2*x*y=2x
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{2*x*(1-y)}{x^2}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{1-y}}=\integral_{}^{}{\bruch{2dx}{x}}
[/mm]
ln|1-y|=2*ln|x|+c
[mm] 1-y=C*x^2
[/mm]
[mm] y=1-C*x^2
[/mm]
2.:
[mm] x^2*y'+2*x*y=2x
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{2*x*(1-y)}{x^2}
[/mm]
[mm] -\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y-1}}=\integral_{}^{}{\bruch{2dx}{x}}
[/mm]
-ln|y-1|=2*ln|x|+c
[mm] \bruch{1}{y-1}=C*x^2
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{C*x^2}+1
[/mm]
Als offizielle Lösung wird aber
[mm] y(x)=\bruch{C}{x^2}+1
[/mm]
angegeben.
Welche ist denn nun korrekt?
Darf man das C vom nenner in den Zähler ziehen?
Danke schon mal.
|
|
| |
|
Hallo winty,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y=y(x) von
> [mm]x^2*y'+2*x*y=2x[/mm]
> Bekomme zwei unterschiedliche Lösungen:
> 1.:
> [mm]x^2*y'+2*x*y=2x[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{2*x*(1-y)}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{1-y}}=\integral_{}^{}{\bruch{2dx}{x}}[/mm]
> ln|1-y|=2*ln|x|+c
Es ist doch [mm] $\int{\frac{1}{1-y} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\ln(|1-y|)$
[/mm]
> [mm]1-y=C*x^2[/mm]
> [mm]y=1-C*x^2[/mm]
>
>
> 2.:
> [mm]x^2*y'+2*x*y=2x[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{2*x*(1-y)}{x^2}[/mm]
>
> [mm]-\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y-1}}=\integral_{}^{}{\bruch{2dx}{x}}[/mm]
> -ln|y-1|=2*ln|x|+c
Aha!
> [mm]\bruch{1}{y-1}=C*x^2[/mm]
> [mm]y=\bruch{1}{C*x^2}+1[/mm]
>
> Als offizielle Lösung wird aber
> [mm]y(x)=\bruch{C}{x^2}+1[/mm]
> angegeben.
> Welche ist denn nun korrekt?
> Darf man das C vom nenner in den Zähler ziehen?
Ja, das ist dasselbe (für [mm] $C\neq [/mm] 0$).
Wenn das $C$ mit im Nenner steht. darf der nicht 0 sein.
In der "offiziellen" Lösung ist $C=0$, also [mm] $y\equiv [/mm] 1$ durchaus möglich, und es ist ja - wie man durch Einsetzen direkt sieht - auch eine Lösung der Ausgangsdgl.
Das müsste man in der "offiziellen" Lösung dann noch sagen ...
>
> Danke schon mal.
>
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Di 25.09.2012 | | Autor: | winty |
Okay, vielen dank!
Hatte das Integral also nur falsch gelöst...
Danke für den Tipp mit dem C :)
|
|
|
|
