DGL 1. Ordnung mit Subst. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | DGL: x*y'-y = [mm] x*cos^2(y/x) [/mm] |
Hallo,
ich versuche gerade folgende Klausurübungsaufgabe zu lösen aber irgendwie bin ich mir nicht sicher ob das so klappt:
xy'-y=xcos²(y/x)
mit Subst:
u=y/x
y=xu
y'=u+xu'
x(u+xu')-xu=xcos²(u) | ausmulti.
xu+x²u'-xu=xcos²(u) | xu und -xu heben sich auf
x²u'=xcos²(u) | :x²
u'=(xcos²(u))/x² | trennung der variablen
du/dx = (xcos²(u))/x² | *dx
du = (xcos²(u))/x² *dx
du = 1/x² x*cos²(u)*dx
du = 1/x cos²(u)*dx |:cos²(u)
du/cos²(u)= dx/x
integral (du/cos²(u)) mit stammintegral dx/cos²(ax) [a=1]
= tan(u)/1 = tan(u)
dx/x = ln |x| + ln |C|
tan(u) = ln |x| + ln |c|
Rücksubst:
tan(y/x) = ln|x| + ln |c| so weiter weis ich jetzt wirklich nicht.
Kann mir jemand helfen das zu ende zu führen oder fehler zu finden?
lg Anja
Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=393459&sid=7124a3d56ba3db7612a532f063a0f6c2
http://www.onlinemathe.de/forum/Problem-mit-DGL-substitution-
Da mir es sehr wichtig ist die Lösung schnell herauszufinden.
Laut meinem Prof soll diese sein
y(x)=x arctan(ln|x|+c) C element von R
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Hallo superkato,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> DGL: x*y'-y = [mm]x*cos^2(y/x)[/mm]
> Hallo,
>
> ich versuche gerade folgende Klausurübungsaufgabe zu lösen
> aber irgendwie bin ich mir nicht sicher ob das so klappt:
>
> xy'-y=xcos²(y/x)
>
> mit Subst:
>
> u=y/x
> y=xu
> y'=u+xu'
>
> x(u+xu')-xu=xcos²(u) | ausmulti.
>
> xu+x²u'-xu=xcos²(u) | xu und -xu heben sich auf
>
> x²u'=xcos²(u) | :x²
>
> u'=(xcos²(u))/x² | trennung der variablen
>
> du/dx = (xcos²(u))/x² | *dx
>
> du = (xcos²(u))/x² *dx
>
> du = 1/x² x*cos²(u)*dx
>
> du = 1/x cos²(u)*dx |:cos²(u)
>
> du/cos²(u)= dx/x
>
> integral (du/cos²(u)) mit stammintegral dx/cos²(ax) [a=1]
>
> = tan(u)/1 = tan(u)
>
> dx/x = ln |x| + ln |C|
>
> tan(u) = ln |x| + ln |c|
>
> Rücksubst:
>
> tan(y/x) = ln|x| + ln |c| so weiter weis ich jetzt wirklich
> nicht.
>
> Kann mir jemand helfen das zu ende zu führen oder fehler zu
> finden?
Nun, wende den [mm]\operatorname{arctan}[/mm] darauf an,
und forme nach y um:
[mm]y=x*\operatorname{arctan}\left(\operatorname{ln}\vmat{x}+\operatorname{ln}\vmat{C}\right)[/mm]
> lg Anja
>
>
> Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=393459&sid=7124a3d56ba3db7612a532f063a0f6c2
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Problem-mit-DGL-substitution-
>
> Da mir es sehr wichtig ist die Lösung schnell
> herauszufinden.
>
> Laut meinem Prof soll diese sein
>
> y(x)=x arctan(ln|x|+c) C element von R
Um jetzt auf diese Lösung zu kommen, definierst Du [mm]c:=\operatorname{ln}\vmat{C}[/mm]
Gruß
MathePower
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Also kann man generell sagen, dass man mittels arctan das y entbindet :)
ihr seid perfekt! vielen Dank! damit ist die Aufgabe gelöst!
sieht das dann so richtig aus ?
tan(y/x) = ln|x|+ln|c| |*arctan ; |*x
y = x arctan (ln|x|+ln|c|)
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Hallo superkato,
> Also kann man generell sagen, dass man mittels arctan das y
> entbindet :)
>
> ihr seid perfekt! vielen Dank! damit ist die Aufgabe
> gelöst!
>
Danke für die Blumen.
>
> sieht das dann so richtig aus ?
>
> tan(y/x) = ln|x|+ln|c| |*arctan ; |*x
>
> y = x arctan (ln|x|+ln|c|)
>
Das geht so:
[mm]\tan\left(\bruch{y}{x}\right)=\ln\vmat{x}+\ln\vmat{C}[/mm]
Nun wird auf beide Seiten der [mm]\operatorname{arctan}[/mm] angewendet:
[mm]\operatorname{arctan}\left( \ \tan\left(\bruch{y}{x}\right) \ \right)=\operatorname{arctan}\left(\ln\vmat{x}+\ln\vmat{C}\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{y}{x}=\operatorname{arctan}\left(\ln\vmat{x}+\ln\vmat{C}\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow y= x*\operatorname{arctan}\left(\ln\vmat{x}+\ln\vmat{C}\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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