DGL 1ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 So 06.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung von
[mm] y'+xy=y^3. [/mm] |
Hallo,
ich habe hier so angesetzt:
[mm] z(x):=y^{2}(x).
[/mm]
Dann: z'(x)=2xz-2. Ist das bis hierhin richtig? Dann liegt eine lineare DGL vor, sie ich versucht habe zu lösen:
Homogene Lösung:
[mm] z_H(x)=C\cdot\mbox{exp}(\int_{x_0}^{x}2tdt)
[/mm]
[mm] =C\cdot\mbox{exp}(x^2-x_{0}^2)
[/mm]
[mm] =K\cdot \mbox{exp}(x^2) [/mm] und [mm] K\in \mathbb{R}.
[/mm]
Bis dahin gehts noch.
Dann Variation der Konstanten:
[mm] C(x)&=&\int_{x_{0}}^{x}-2\cdot\mbox{exp}\left(-\int_{x_{0}}^{s}2t\, dt\right)ds\\&=&-2\int_{x_{0}}^{x}\mbox{exp}\left(-s^{2}+x_{0}^{2}\right)ds.
[/mm]
Das letzte Integral kann ich nun nicht mehr ausrechnen oder?
Wo sind denn da nun Fehler drin bzw wie mache ich weiter?
Gruß Unk
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Hallo Unk,
> Bestimmen Sie die Lösung von
> [mm]y'+xy=y^3.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe hier so angesetzt:
> [mm]z(x):=y^{2}(x).[/mm]
Offenbar hast Du hier die DGL mit 2y durchmultipliziert:
[mm]\blue{2y}*y'+\blue{2y}*x*y=\blue{2y}*y^{3}[/mm]
Dies führt dann jedoch auf folgende DGL:
[mm]z'+2*x*z=2*z^{2}[/mm]
> Dann: z'(x)=2xz-2. Ist das bis hierhin richtig? Dann liegt
> eine lineare DGL vor, sie ich versucht habe zu lösen:
>
> Homogene Lösung:
> [mm]z_H(x)=C\cdot\mbox{exp}(\int_{x_0}^{x}2tdt)[/mm]
> [mm]=C\cdot\mbox{exp}(x^2-x_{0}^2)[/mm]
> [mm]=K\cdot \mbox{exp}(x^2)[/mm] und [mm]K\in \mathbb{R}.[/mm]
>
> Bis dahin gehts noch.
> Dann Variation der Konstanten:
>
> [mm]C(x)&=&\int_{x_{0}}^{x}-2\cdot\mbox{exp}\left(-\int_{x_{0}}^{s}2t\, dt\right)ds\\&=&-2\int_{x_{0}}^{x}\mbox{exp}\left(-s^{2}+x_{0}^{2}\right)ds.[/mm]
>
> Das letzte Integral kann ich nun nicht mehr ausrechnen
> oder?
>
> Wo sind denn da nun Fehler drin bzw wie mache ich weiter?
Hier handelt es sich doch um eine Bernoullische DGL.
[mm]y'+\phi\left(x\right)*y=\psi\left(x\right)*y^{n}[/mm]
Diese wird durch die Substitution
[mm]y=z^{\bruch{1}{1-n}}[/mm]
auf eine lineare DGL 1. Ordnung zurückgeführt.
>
> Gruß Unk
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 06.12.2009 | | Autor: | Unk |
Ich hatte mich leider verschrieben.
Was ich gemacht habe, war [mm] z(x)=y^{-2}(x) [/mm] gesetzt. Das ist ja [mm] y^{1-\alpha}. [/mm] Mir ist nämlich schon klar, dass das eine Bernoulli-Glg. ist. Und dann kommt man eben zu z'=2xz-2, also geht es nun darum, diese lineare glg. zu lösen, was mir etwas Probleme bereitet.
Wie kann ich da den inhomogenen Teil lösen?
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Hallo Unk,
> Ich hatte mich leider verschrieben.
> Was ich gemacht habe, war [mm]z(x)=y^{-2}(x)[/mm] gesetzt. Das ist
> ja [mm]y^{1-\alpha}.[/mm] Mir ist nämlich schon klar, dass das eine
> Bernoulli-Glg. ist. Und dann kommt man eben zu z'=2xz-2,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also geht es nun darum, diese lineare glg. zu lösen, was
> mir etwas Probleme bereitet.
>
> Wie kann ich da den inhomogenen Teil lösen?
Mache die Konstante in der Funktion,
die die homogene DGL löst, von x abhängig.
Und setze diesen Ansatz in die inhomogen DGL ein.
Beispiel:
[mm]y'+2y=x^{2}[/mm]
Die homogene Lösung ist [mm]y_{h}\left(x\right)=C*e^{-2x}[/mm]
Für dem Ansatz der inhomogenen DGL macht man C von x abhängig:
[mm]y_{p}\left(x\right)=C\left(x\right)*e^{-2x}[/mm]
Dieser wird nun die inhomogene DGL eingesetzt:
[mm]y_{p}'+2*y_{p}=x^{2}[/mm]
Alternative ist die, daß die Inhomogenität gemäß der Störfunktion gewählt wird.
Hier wird dann mit [mm]y_{p}\left(x\right)=a*x^{2}+b*x+c[/mm] angesetzt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
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> > Ich hatte mich leider verschrieben.
> > Was ich gemacht habe, war [mm]z(x)=y^{-2}(x)[/mm] gesetzt. Das
> ist
> > ja [mm]y^{1-\alpha}.[/mm] Mir ist nämlich schon klar, dass das eine
> > Bernoulli-Glg. ist. Und dann kommt man eben zu z'=2xz-2,
>
>
>
>
>
> > also geht es nun darum, diese lineare glg. zu lösen, was
> > mir etwas Probleme bereitet.
> >
> > Wie kann ich da den inhomogenen Teil lösen?
>
>
> Mache die Konstante in der Funktion,
> die die homogene DGL löst, von x abhängig.
>
> Und setze diesen Ansatz in die inhomogen DGL ein.
>
> Beispiel:
>
> [mm]y'+2y=x^{2}[/mm]
>
> Die homogene Lösung ist [mm]y_{h}\left(x\right)=C*e^{-2x}[/mm]
>
> Für dem Ansatz der inhomogenen DGL macht man C von x
> abhängig:
>
> [mm]y_{p}\left(x\right)=C\left(x\right)*e^{-2x}[/mm]
>
> Dieser wird nun die inhomogene DGL eingesetzt:
>
> [mm]y_{p}'+2*y_{p}=x^{2}[/mm]
>
> Alternative ist die, daß die Inhomogenität gemäß der
> Störfunktion gewählt wird.
>
> Hier wird dann mit [mm]y_{p}\left(x\right)=a*x^{2}+b*x+c[/mm]
> angesetzt.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ok, aber das muss doch auch über Varition der Konstanten gehen oder?
Also für die Gleichung y'(x)=a(x)y(x)+b(x) dann die Lösung des homogenen Teils: [mm] y(x)=C\cdot \mbox{exp}( [/mm] F(x)), dann wäre das C(x) in der inhomogenen Lösung:
[mm] C(x)=\int_{x_0}^{x}b(t)e^{-F(t)}dt [/mm] oder?
Ich habe eben versucht das auf meine Gleichung zu übertragen.
Wie gesagt komme ich bei der homogenen Lösung zu:
[mm] \phi_H(x)=Ce^{x^2}.
[/mm]
Dann müsste gelten:
[mm] C(x)&=&\int_{x_{0}}^{x}-2\cdot e^{-x^{2}}dx
[/mm]
So und wie kann ich da das Integral nun lösen, also was ist die Stammfunktion? Oder ist da noch ein Fehler drin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich komm nur auf
[mm] C=\integral{x^2*e^2x dx}
[/mm]
das man durch partielle Integration (2mal) lösen kann. woher kommt dein [mm] x^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> ich komm nur auf
> [mm]C=\integral{x^2*e^2x dx}[/mm]
> das man durch partielle
> Integration (2mal) lösen kann. woher kommt dein [mm]x^2[/mm]
> Gruss leduart
Ok wenn das da hinkommt, kann ichs auch integrieren, aber wie kommst du darauf?
Hier nochmal meine Rechnung:
[mm] y^{-2}(x)=z(x), [/mm] dann z'(x)=2xz-2
dann homogene Gleichung lösen:
[mm] \varphi_H(x)=\mbox{exp}(\int_{x_0}^{x}2t [/mm] dt)
[mm] =C\cdot \mbox{exp}(x^2) [/mm]
und da kommt mein [mm] x^2 [/mm] her.
Dann inhomogene Lösung durch Variation der Konstanten:
[mm] C(x)=\int_{x_0}^{x}-2\mbox{exp}(-x^2)dx.
[/mm]
Auf deine Lösung komme ich bisher nie.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Entschuldige, ich hatte nur das Bsp von mathepower gesehen. hier weiss ich im Moment auch kene Lösung.
Gruss leduart
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Hallo Unk,
> > Hallo
> > ich komm nur auf
> > [mm]C=\integral{x^2*e^2x dx}[/mm]
> > das man durch partielle
> > Integration (2mal) lösen kann. woher kommt dein [mm]x^2[/mm]
> > Gruss leduart
>
> Ok wenn das da hinkommt, kann ichs auch integrieren, aber
> wie kommst du darauf?
> Hier nochmal meine Rechnung:
> [mm]y^{-2}(x)=z(x),[/mm] dann z'(x)=2xz-2
> dann homogene Gleichung lösen:
> [mm]\varphi_H(x)=\mbox{exp}(\int_{x_0}^{x}2t[/mm] dt)
> [mm]=C\cdot \mbox{exp}(x^2)[/mm]
> und da kommt mein [mm]x^2[/mm] her.
>
> Dann inhomogene Lösung durch Variation der Konstanten:
> [mm]C(x)=\int_{x_0}^{x}-2\mbox{exp}(-x^2)dx.[/mm]
Stimmt.
Für dieses Integral gibt es keinen geschlossen Ausdruck.
Du kannst das zwar partiell integrieren,
kommst dann aber auf eine unenendliche Reihe.
> Auf deine Lösung komme ich bisher nie.
leduart hat sich ja auf mein Beispiel bezogen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Unk |
Hm das ist unschön, aber ok.
Ich komme dann also zu:
[mm] z(x)=C\cdot\mbox{exp}\left(x^{2}\right)-\int_{x_{0}}^{x}2\cdot e^{-x^{2}}dx\cdot\mbox{exp}\left(x^{2}\right).
[/mm]
Jetzt muss ich das ja noch resubstituieren.
Dann komme ich zu:
[mm] \Rightarrow z^{-\frac{1}{2}}&=&y\\\Rightarrow\left[C\cdot\mbox{exp}\left(x^{2}\right)-\int_{x_{0}}^{x}2\cdot e^{-x^{2}}dx\cdot\mbox{exp}\left(x^{2}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}&=&y(x).
[/mm]
Kann man das einfach so hinschreiben? Wirklich vereinfachen kann man ja nicht mehr...
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Hallo Unk,
> Hm das ist unschön, aber ok.
>
> Ich komme dann also zu:
>
> [mm]z(x)=C\cdot\mbox{exp}\left(x^{2}\right)-\int_{x_{0}}^{x}2\cdot e^{-x^{2}}dx\cdot\mbox{exp}\left(x^{2}\right).[/mm]
>
> Jetzt muss ich das ja noch resubstituieren.
> Dann komme ich zu:
> [mm]\Rightarrow z^{-\frac{1}{2}}&=&y\\\Rightarrow\left[C\cdot\mbox{exp}\left(x^{2}\right)-\int_{x_{0}}^{x}2\cdot e^{-x^{2}}dx\cdot\mbox{exp}\left(x^{2}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}&=&y(x).[/mm]
>
> Kann man das einfach so hinschreiben? Wirklich vereinfachen
> kann man ja nicht mehr...
Das kann man so hinschreiben.
Hier kannst Du aber noch [mm]\operatorname{exp}\left(x^{2}\right)[/mm] aus der Klammer herausziehen.
Gruss
MathePower
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