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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2.Ordnung
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DGL 2.Ordnung: Tipp partikuläre Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Aufgabe
Lösen Sie die DGL  x''(t)+x'(t)=2  mit den Anfangsbedingungen x(0)=0 und x'(0)=1

a) auf "normalem" Weg
b) mit Hilfe der Laplace-Transformation

Mein Ansatz ist:  x [mm] =e^{\lambda*t} [/mm]
                  [mm] x'=\lambda*e^{\lambda*t} [/mm]
                  [mm] x''=\lambda^{2}*e^{\lambda*t} [/mm]

allgemeine Lösung: [mm] \lambda^{2}*e^{\lambda*t}+\lambda*e^{\lambda*t}=0 [/mm]

Daraus folgt [mm] \lambda_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}} [/mm]

Also [mm] \lamda_{1}=0 [/mm]  und  [mm] \lambda_{2}=-1 [/mm]
Da [mm] \lambda_{1}\not=\lambda_{2} [/mm] folgt für die Fundamentalbasis    [mm] x_{1}=e^{\lambda_{1}*t=e^{0*t}=1} [/mm] und [mm] x_{2}=e^{\lambda_{2}*t=e^{-t}} [/mm]

Somit ergibt sich für die allgemeine Lösung:

[mm] x(t)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*t}=C_{1}+C_{2}*e^{-t} [/mm]

Habe ich bis hierher richtig gerechnet?
Soweit ich weiß, muss ich als nächstes eine partikuläre Lösung finden. Aber wie?

        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Mo 05.07.2010
Autor: fred97


> Lösen Sie die DGL  x''(t)+x'(t)=2  mit den
> Anfangsbedingungen x(0)=0 und x'(0)=1
>  
> a) auf "normalem" Weg
>  b) mit Hilfe der Laplace-Transformation
>  Mein Ansatz ist:  x [mm]=e^{\lambda*t}[/mm]
>                    [mm]x'=\lambda*e^{\lambda*t}[/mm]
>                    [mm]x''=\lambda^{2}*e^{\lambda*t}[/mm]
>  
> allgemeine Lösung:
> [mm]\lambda^{2}*e^{\lambda*t}+\lambda*e^{\lambda*t}=0[/mm]
>  
> Daraus folgt
> [mm]\lambda_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}}[/mm]
>  
> Also [mm]\lamda_{1}=0[/mm]  und  [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
>  Da [mm]\lambda_{1}\not=\lambda_{2}[/mm] folgt für die
> Fundamentalbasis    [mm]x_{1}=e^{\lambda_{1}*t=e^{0*t}=1}[/mm] und
> [mm]x_{2}=e^{\lambda_{2}*t=e^{-t}}[/mm]
>  
> Somit ergibt sich für die allgemeine Lösung:
>  
> [mm]x(t)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*t}=C_{1}+C_{2}*e^{-t}[/mm]
>  
> Habe ich bis hierher richtig gerechnet?


Ja


>  Soweit ich weiß, muss ich als nächstes eine partikuläre
> Lösung finden. Aber wie?


Ich denke man sieht durch scharfes Hinsehen, dass   $x(t)=2t$  eine spezielle Lösung ist

FRED

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DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Hmm...Woran sehe ich das??

Weil x''(t)+x'(t)=2 ist, und die rechte Seite integriert 2t ergibt? Oder wie?

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Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mo 05.07.2010
Autor: qsxqsx

Hallo,

Allgemein zum Ansatz, falls die Inhomogenität ein Polynom ist:

Ist die Inhomogenität ein Polynom vom grad n, und ist k der kleinste Grad der kleinsten Ableitung von x(t), dann ist die Partikuläre Lösung ein Polynom vom Grad (n+k).

Also setzt du einfach so ein Polynom (mit n+k+1) Koeffizienten ein und machst Koeffizientenvergleich.

(FRED: Hoffe das ist so mathematisch relativ plus minus okay ausgedrückt)

Grüsse

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Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Das verstehe ich leider nicht.

Ok, ich gehe mal davon aus, das ich das Störglied als Polynom verstehen soll.

Also ist dann mein Ansatz [mm] y_p=a*t+b [/mm]

Aber wie mach ich jetzt nen Koeffizientenvergleich?
Steh irgendwie auf dem Schlauch

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Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Mo 05.07.2010
Autor: qsxqsx

Ja, A*x + B


Einsetzen:

0 + A = 2

Koeffizientenvergleich:

A = 2

Gruss

Bezug
                                                
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DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

OK. Erstmal Danke.

Ich setze also [mm] x_p=a*t+b [/mm] und setze das ganze gleich der rechten Seite der DGL.

Dann ergibt sich doch für [mm] x_p=2 [/mm]
und damit dann für die Lösung der DGL [mm] x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2 [/mm]

Ich muss aber doch noch irgendwie die Anfangsbedingungen mit einbeziehen, um die Konstanten [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] zu bestimmen.

Wie mach ich das denn?

Bezug
                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Mo 05.07.2010
Autor: fred97


> OK. Erstmal Danke.
>  
> Ich setze also [mm]x_p=a*t+b[/mm] und setze das ganze gleich der
> rechten Seite der DGL.
>  
> Dann ergibt sich doch für [mm]x_p=2[/mm]
>  und damit dann für die Lösung der DGL
> [mm]x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2[/mm]


Nein. Die allgemeine Lösung lautet:

[mm]x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2t[/mm]

>  
> Ich muss aber doch noch irgendwie die Anfangsbedingungen
> mit einbeziehen, um die Konstanten [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] zu
> bestimmen.

Tu es doch !

E s ist $0=x(0) = [mm] C_1+C_2+2*0= C_1+C_2$ [/mm]

also

               (1) $0= [mm] C_1+C_2+2*0= C_1+C_2$ [/mm]

Weiter ist $x'(t) = [mm] -C_2e^{-t}+2$ [/mm]

Also: $1=x'(0) = [mm] -C_2+2$ [/mm]

Somit

                (2)  $1= [mm] -C_2+2$ [/mm]

Nun berechne mit (1) und (2) die Zahlen [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm]

FRED

>  
> Wie mach ich das denn?


Bezug
                                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Also die 2t sind mir ehrlich gesagt nicht ganz klar.
Mein Ansatz für die partikuläre Lösung ist doch [mm] x_p=a*t+b. [/mm]

Ich dachte, das ganze muss ich mit der rechten Seite der DGL gleichsetzen. Also [mm] x_p=a*t+b=2 [/mm]

Wie komme ich darauf, dass die 2 dem a entspricht und nicht dem b?
Ist das so, weil ich die rechte Seite erst integrieren muss?

Das weitere Vorgehen ist mir klar.
Es ergibt sich für [mm] C_2=1 [/mm] und für [mm] C_1=-1 [/mm]

Also ist die gesuchte Lösung:  [mm] x(t)=e^{-t}+2t-1 [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mo 05.07.2010
Autor: fred97


> Also die 2t sind mir ehrlich gesagt nicht ganz klar.
>  Mein Ansatz für die partikuläre Lösung ist doch
> [mm]x_p=a*t+b.[/mm]
>  
> Ich dachte, das ganze muss ich mit der rechten Seite der
> DGL gleichsetzen. Also [mm]x_p=a*t+b=2[/mm]

Das ist doch Unfug ! [mm] x_p [/mm] soll doch Lösung der DGL sein ! Somit muß

                    [mm] $x_p''(t)+x_p'(t) [/mm] = 2$

also

                   $a=2$

gelten.


FRED


>  
> Wie komme ich darauf, dass die 2 dem a entspricht und nicht
> dem b?
>  Ist das so, weil ich die rechte Seite erst integrieren
> muss?
>  
> Das weitere Vorgehen ist mir klar.
>  Es ergibt sich für [mm]C_2=1[/mm] und für [mm]C_1=-1[/mm]
>  
> Also ist die gesuchte Lösung:  [mm]x(t)=e^{-t}+2t-1[/mm]  


Bezug
                                                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

OK. Vielen Dank.

Ich muss mich wohl noch intensiver mit DGL auseinandersetzen.
Klar muss die partikuläre Lösung die DGL erfüllen.

Bezug
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