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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Di 21.09.2010 | | Autor: | herben |
| Aufgabe | | [mm] $y''=-\bruch{1}{y^2}$ [/mm] mit $y(0)=2$ und $y'(0)=1$ |
Hallo,
ich hab ein wenig Probleme mit der Aufgabe...irgendwie komm ich da nicht weiter....man soll wohl die Substitution $y'=p$ benutzen und daraus soll folgen $y''=p'*p$....ich muss dazu sagen, dass ich nicht allzu viel ahnung von dgls hab....
vielen dank schon mal im voraus...
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Hallo herben,
> [mm]y''=-\bruch{1}{y^2}[/mm] mit [mm]y(0)=2[/mm] und [mm]y'(0)=1[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab ein wenig Probleme mit der Aufgabe...irgendwie komm
> ich da nicht weiter....man soll wohl die Substitution [mm]y'=p[/mm]
Ja, das ist richtig.
> benutzen und daraus soll folgen [mm]y''=p'*p[/mm]....ich muss dazu
Setze:
[mm]y'\left(x\right)=p\left( \ y\left(x\right)\ \right)[/mm]
Dann ist nach der Kettenregel:
[mm]y''\left(x\right)=p'\left( \ y\left(x\right)\ \right)*y'\left(x\right)=p'\left( \ y\left(x\right)\ \right)*p\left( \ y\left(x\right)\ \right)[/mm]
> sagen, dass ich nicht allzu viel ahnung von dgls hab....
>
> vielen dank schon mal im voraus...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Di 21.09.2010 | | Autor: | herben |
ok, vielen danke schon mal. Hab da aber noch eine kleine Frage:
wenn ich das alles ausrechne erhalte ich
[mm] $p=\pm \wurzel{\bruch{2}{y}+c}$
[/mm]
wie komme ich denn nun auf $y$? Integrieren (weil $p=y'$ ist) oder umstellen nach $y$, wobei dann $y$ wieder irgendwie von $y'$ anhängig ist....?
Vielen Dank schon mal
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Hallo herben,
> ok, vielen danke schon mal. Hab da aber noch eine kleine
> Frage:
>
> wenn ich das alles ausrechne erhalte ich
>
> [mm]p=\pm \wurzel{\bruch{2}{y}+c}[/mm]
>
> wie komme ich denn nun auf [mm]y[/mm]? Integrieren (weil [mm]p=y'[/mm] ist)
> oder umstellen nach [mm]y[/mm], wobei dann [mm]y[/mm] wieder irgendwie von [mm]y'[/mm]
> anhängig ist....?
Jetzt kannst Du zunächst die Anfangsbedinungen einsetzen,
um die weitere Rechnung einfacher zu gestalten:
Es ist
[mm]p\left(0\right)=y' \left(0)=1[/mm]
und
[mm]y\left(0\right)=2[/mm]
Einsetzten, und Du erhälst die Lösung
[mm]p=\pm \wurzel{\bruch{2}{y}+c}[/mm]
Durch die Anfangsbedingungen, wird auch das Vorzeichen der Lösung festgelegt.
Setze dann [mm]p=y'[/mm], dann ergibt sich
[mm]y'=\pm \wurzel{\bruch{2}{y}+c}[/mm]
Und dies ist natürlich eine DGL in y, die Du lösen musst.
[mm] \bruch{1}{\pm \wurzel{\bruch{2}{y}+c}}\ dy = \ dx[/mm]
Nun beide Seiten integrieren:
[mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{\pm \wurzel{\bruch{2}{y}+c}}\ dy }= \integral_{}^{}{\ dx}[/mm]
[mm]\gdw \integral_{}^{}{ \bruch{1}{\pm \wurzel{\bruch{2}{y}+c}}\ dy }=x+c_{2}[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal
Gruss
MathePower
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