DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mi 12.09.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle allgemeinen Lösungen der Differentialgleichung (DGL) 2. Ordnung:
y '' + 2*y ' - 3y = [mm] x^2 [/mm] -1 |
Moin Moin,
auch hier bräuchte zunächst eine Idee.
Muss ich hier die Variablen trennen? Und wenn ja wie?
Oder wie gehe ich am besten vor?
Danke & Gruß!
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Hallo hase-hh,
> Bestimen Sie alle allgemeinen Lösungen der
> Differentialgleichung (DGL) 2. Ordnung:
>
> y '' + 2*y ' - 3y = [mm]x^2[/mm] -1
> Moin Moin,
>
> auch hier bräuchte zunächst eine Idee.
>
>
> Muss ich hier die Variablen trennen? Und wen nja wie?
>
> Oder wie gehe ich am besten vor?
>
>
> Danke & Gruß!
Nein, keine Variablentrennung.
Löse zunächst die homogene Gleichung:
[mm] $y''+2*y'-3*y\;=\;0$
[/mm]
mit Hilfe des Exponentialansatzes [mm] $y(x)\;=\;e^{\lambda*x}$
[/mm]
Löse dann die charakteristische Gleichung.
Zur Kontrolle: [mm] $y_{0}\;=\;C_{1}*e^{-3*x}+C_{2}*e^{x}$
[/mm]
Setze dann als partikuläre Lösung an: [mm] $y_{p}\;=\;ax^2+bx+c$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 13.09.2018 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
ich habe die homogene Lösung nachgerechnet...
y = [mm] e^{/\ambda*x}
[/mm]
y ' = [mm] \lambda*e^{\lambda*x}
[/mm]
y '' = [mm] \lambda^2*e^{\lambda*x}
[/mm]
=> [mm] \lambda^2*e^{\lambda*x} [/mm] + 2* [mm] \lambda*e^{\lambda*x} [/mm] - [mm] 3*\e^{\lambda*x} [/mm] = 0
[mm] e^{\lambda*x}*[ \lambda^2 [/mm] + [mm] 2*\lambda [/mm] - 3] = 0
[mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] 2*\lambda [/mm] - 3 = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -3
=> [mm] y_0 [/mm] = [mm] C_1* \e^{-3*x} [/mm] + [mm] C_2* \e^{x}
[/mm]
Aber wie geht es nun weiter?
[mm] y_p [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] +bx + c
Und nun?
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Moin moin,
> Moin Moin,
>
> ich habe die homogene Lösung nachgerechnet...
>
> y = [mm]e^{/\ambda*x}[/mm]
>
> y ' = [mm]\lambda*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> y '' = [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm]
>
>
> => [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm] + 2* [mm]\lambda*e^{\lambda*x}[/mm] -
> [mm]3*\e^{\lambda*x}[/mm] = 0
>
> [mm]e^{\lambda*x}*[ \lambda^2[/mm] + [mm]2*\lambda[/mm] - 3] = 0
>
>
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]2*\lambda[/mm] - 3 = 0
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1 und [mm]\lambda_2[/mm] = -3
>
>
> => [mm]y_0[/mm] = [mm]C_1* \e^{-3*x}[/mm] + [mm]C_2* \e^{x}[/mm]
>
>
> Aber wie geht es nun weiter?
>
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]ax^2[/mm] +bx + c
>
>
> Und nun?
Leite [mm] y_p [/mm] zweimal ab & setze alles in die vollständige DGL ein. Bestimme dann die Koeffizienten a, b, c.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 13.09.2018 | | Autor: | hase-hh |
ok, ich probiere...
[mm] y_p [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] +bx + c
[mm] y_p [/mm] ' = 2a + b
[mm] y_p [/mm] '' = 2a
Einsetzen in die DGL
2a + 2*(2ax +b) - [mm] 3*(ax^2 [/mm] +bx +c) = [mm] x^2 [/mm] -1
Aber wie bestimme ich jetzt a, b, c ?
Stelle ich jetzt gar drei Gleichungen mit verschiedenen x-Werten auf ???
Danke & Gruß !
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Moin moin,
> ok, ich probiere...
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]ax^2[/mm] +bx + c
>
> [mm]y_p[/mm] ' = 2a + b
Schreibfehler: [mm] $y_p'\;=\;2ax+b$
[/mm]
>
> [mm]y_p[/mm] '' = 2a
>
>
>
> Einsetzen in die DGL
>
>
> 2a + 2*(2ax +b) - [mm]3*(ax^2[/mm] +bx +c) = [mm]x^2[/mm] -1
Vorzeichenfehler: + 1
Sonst richtig.
Nun die Klammern ausmultiplizieren. Sortiere nach Potenzen von x. Sodann vergleiche die Koeffizienten:
[mm] $x^2*(-3a)+ x*(4a-3b)+(2a+2b-3c)\;=\;1*x^2+1$
[/mm]
>
> Aber wie bestimme ich jetzt a, b, c ?
>
> Stelle ich jetzt gar drei Gleichungen mit verschiedenen
> x-Werten auf ???
>
>
> Danke & Gruß !
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 13.09.2018 | | Autor: | hase-hh |
> > [mm]y_p[/mm] '' = 2a
> >
> >
> >
> > Einsetzen in die DGL
> >
> >
> > 2a + 2*(2ax +b) - [mm]3*(ax^2[/mm] +bx +c) = [mm]x^2[/mm] -1
>
> Vorzeichenfehler: + 1
Nein, die rechte Seite der DGL lautet [mm] x^2 [/mm] - 1.
> Nun die Klammern ausmultiplizieren. Sortiere nach Potenzen
> von x. Sodann vergleiche die Koeffizienten:
>
> [mm]x^2*(-3a)+ x*(4a-3b)+(2a+2b-3c)\;=\;1*x^2+1[/mm]
[mm] x^2*(-3a) [/mm] + x*(4a-3b) +(2a+2b-3c) = [mm] 1*x^2 [/mm] -1
d.h. deine Lösung würde sich dann ergeben durch
-3a = 1
4a-3b = 0
2a+2b-3c = -1
a = - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
b = - [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
c = - [mm] \bruch{5}{27}
[/mm]
Das habe ich auch raus.
=> [mm] y_p [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{4}{9}*x -\bruch{5}{27}
[/mm]
Und die allgemeine Lösung ist dann
[mm] y_A [/mm] = [mm] y_0 [/mm] + [mm] y_p [/mm]
[mm] y_A [/mm] = [mm] C_1*e^{-3x} [/mm] + [mm] C_2*e^{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{4}{9}*x -\bruch{5}{27}
[/mm]
richtig?
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Moin moin,
> > > [mm]y_p[/mm] '' = 2a
> > >
> > >
> > >
> > > Einsetzen in die DGL
> > >
> > >
> > > 2a + 2*(2ax +b) - [mm]3*(ax^2[/mm] +bx +c) = [mm]x^2[/mm] -1
> >
> > Vorzeichenfehler: + 1
>
> Nein, die rechte Seite der DGL lautet [mm]x^2[/mm] - 1.
>
> > Nun die Klammern ausmultiplizieren. Sortiere nach Potenzen
> > von x. Sodann vergleiche die Koeffizienten:
> >
> > [mm]x^2*(-3a)+ x*(4a-3b)+(2a+2b-3c)\;=\;1*x^2+1[/mm]
>
> [mm]x^2*(-3a)[/mm] + x*(4a-3b) +(2a+2b-3c) = [mm]1*x^2[/mm] -1
>
> d.h. deine Lösung würde sich dann ergeben durch
>
> -3a = 1
>
> 4a-3b = 0
>
> 2a+2b-3c = -1
>
>
> a = - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> b = - [mm]\bruch{4}{9}[/mm]
>
> c = - [mm]\bruch{5}{27}[/mm]
>
>
> Das habe ich auch raus.
>
>
> => [mm]y_p[/mm] = - [mm]\bruch{1}{3}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{4}{9}*x -\bruch{5}{27}[/mm]
>
>
> Und die allgemeine Lösung ist dann
>
> [mm]y_A[/mm] = [mm]y_0[/mm] + [mm]y_p[/mm]
>
>
> [mm]y_A[/mm] = [mm]C_1*e^{-3x}[/mm] + [mm]C_2*e^{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}*x^2[/mm] -
> [mm]\bruch{4}{9}*x -\bruch{5}{27}[/mm]
>
>
> richtig?
Prima, alles richtig.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Do 13.09.2018 | | Autor: | leduart |
Ja, auch statt Koeffizientenvergleich 3 möglichst einfache x Werte einsetzen ist ok.
Gruß leduart
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