DGL 2. Ordnung Nummerisch < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 So 20.01.2008 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Gegeben ist das Anfangswertproblem
y'' = -y+4 ; mit den Anfangswerten y(0)=5 und y'(0)=3
Hierfür haben sie im anderen Aufgabenteil bereits eine exakte Lösung y*(t) ermittelt. Berechnen sie nun Näherungswerte der Lösung nach dem Euler-Verfahren für Stützstellen im Intervall [0;1] mit der Schrittweite h=0,2. Bereiten sie zunächst nach dem üblichen Verfahren die DGL 2. Ordnung zu einem DGL System 1. Ordnung auf. Die Rechenergebnisse des Euler Verfahrens sollen in der folgenden Tabelle zusammengestellt werden. |
Hi,
hab wieder mal ein Problem. Ich konnte die exakte DGL berechnen (Ergebnis: y*=cos(x)+3sin(x)+4). Aber wie bereitet man jetzt die DGL 2. Ordnung zu einem DGL System 1. Ordnung auf??? Wäre super wenn mir das jemand beibringen könnte. den Rest dürfte ich dann alleine schaffen, hoff ich.
Vielen Dank!!!!
Gruß
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 So 20.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
v1=y
v2=y'
Dglsystem: v1'=v2
v2'=-v1+4
Die erste Zeile ist das "übliche" statt v natürlich auch schöne andere Buchstaben![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
gute nacht leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:57 So 20.01.2008 | | Autor: | polyurie |
erstmal Danke für deine Antwort. Ich hab das aber immer noch nicht so ganz kapiert (ein paar Erklärungen zu den einzelnen Schritten würden mir gut tun).
Und ich bin mir auch nicht im klaren wie's danach weiter geht. Ich dachte eigentlich dass man danach einfach mit dem Euler-Verfahren für DGLen 1. Ordnung rechnet...
So, ich geh ins Bett.
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 So 20.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Frage: kannst du das Eulervefahren für eine DglSystem der Formy
y1'=f(y1,y2,x)
y2'=g(y1,y2,x)
mit y1(o),y2(o) gegben?
2. du hast ein Dgl zweiter Ordnung in eine Variablen, bei dir
y''(x)=f(y',y,x) bei dir besonders einfach:f(y',y,x)=-y+4
Dann ist das doch dasselbe wie:
(y'(x))'=f(y'(x),y(x),x)
wenn du jetzt y'(x)=z(x) setzest ist natürlich
z'(x)=f(z(x),y,x)
zusätzlich hast du den Zusammenhang
y'(x)=z zugegeben eine sehr einfache Form von g(z,y,x)
aber immerhin hast du jetzt ein System von 2 Dgl erster Ordnung:
z'=f(z(x),y,x)
y'=g(z,y,x)=z
aus den Anfangswerten y(0)=a, y'(0)=b wurde y(0)=a z(0)=b
ich hatte im vorigen post y=v1, z=v2 gesetzt, damit es einheitlicher aussah. aber die Bezeichnungen sind ja unwesentlich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 20.01.2008 | | Autor: | polyurie |
Hi,
das Eulerverfahren für Systeme kann ich. Ich seh nur immernoch nicht bei bei der Ordnungsreduktion der DGLen durch. Wenn ich z.B. das DGL System
[mm] y_{1}'=2xy_{1}+3
[/mm]
[mm] y_{2}'=cos(x+2)sin(y_{1})
[/mm]
mit den Anfangswerten [mm] y_{1(0)}=0 [/mm] und [mm] y_{2(0)}=1
[/mm]
gegeben habe, rechne ich das mit dem Eulerverfahren durch und fertig (steht schön im Papula beschrieben). Damit hab ich eigentlich kein Problem.
Mein Problem besteht leider immer noch darin das ich sone DGL 2 nicht auf ein System von DGLen reduzieren kann.
Ich hab auch versucht mir das eiem Beispiel aus der Vorlesung klarzumachen:
Wir haben da folgendes geschrieben:
DGL 2. Ordung
[mm] y''=-y+2y'+e^{x}(xsin(x)-cos(x)) [/mm] mit [mm] y_{(0)}=-1 [/mm] und [mm] y_{(0)}'=1
[/mm]
[mm] \vec{y}'{(x)}=\vec{f}'{(x,\vec{y})}
[/mm]
bzw. Komponentenweise:
[mm] y_{0}'=y_{1}=f_{(x,y_{0},y_{1})} [/mm] (aus Umbenennung)
[mm] y_{1}'=-y_{0}+2y_{1}+e^{x}(xsin(x)-cos(x))=f_{(x,y_{0},y_{1})}
[/mm]
Danach folgt dann eine Tabelle mit den ausgerechneten werten deshalb konnte ich das nicht weiter nachvollziehen.
Probleme hab ich jetzt wie gesagt bei der Umwandlung in ein System, ausserdem kann ich mit der Vektorschreibweise nicht so viel anfangen und ich weiß nicht so recht was ich mit der ersten Gleichung des Systems [mm] (y_{0}'=y) [/mm] machen soll. Die zweite Gleichung könnte ich schön gepflegt mit dem Eulerverfahren integrieren.
Viele Fragen... Bin auch sehr verzweifelt. Es wäre super wenn mir jemand anhand des Übungsbeispiels erklären könnte wie das funzt. Oder anhand eines anderen Beispiels, Hauptsache ich raff das endlich.
Danke vielmals!!
Gruß Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mo 21.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi,
>
> das Eulerverfahren für Systeme kann ich. Ich seh nur
> immernoch nicht bei bei der Ordnungsreduktion der DGLen
> durch. Wenn ich z.B. das DGL System
>
> [mm]y_{1}'=2xy_{1}+3[/mm]
> [mm]y_{2}'=cos(x+2)sin(y_{1})[/mm]
> mit den Anfangswerten [mm]y_{1(0)}=0[/mm] und [mm]y_{2(0)}=1[/mm]
>
> gegeben habe, rechne ich das mit dem Eulerverfahren durch
> und fertig (steht schön im Papula beschrieben). Damit hab
> ich eigentlich kein Problem.
Warum macht dir das System
y1'=y2
y2'=-y1+4
denn mehr Probleme? y1(0)=3, y2(0)=5
Was ist denn an diesem System so anders als an deinem oben? die funktionen rechts sind doch nur einfacher?
Ich kann dein Problem nicht ganz verstehen.
> Mein Problem besteht leider immer noch darin das ich sone
> DGL 2 nicht auf ein System von DGLen reduzieren kann.
Das hab ich dir doch 2 mal gemacht, nur mit v statt y
> Ich hab auch versucht mir das eiem Beispiel aus der
> Vorlesung klarzumachen:
>
> Wir haben da folgendes geschrieben:
>
> DGL 2. Ordung
> [mm]y''=-y+2y'+e^{x}(xsin(x)-cos(x))[/mm] mit [mm]y_{(0)}=-1[/mm] und
> [mm]y_{(0)}'=1[/mm]
>
> [mm]\vec{y}'{(x)}=\vec{f}'{(x,\vec{y})}[/mm]
>
> bzw. Komponentenweise:
>
> [mm]y_{0}'=y_{1}=f_{(x,y_{0},y_{1})}[/mm] (aus Umbenennung)
>
> [mm]y_{1}'=-y_{0}+2y_{1}+e^{x}(xsin(x)-cos(x))=f_{(x,y_{0},y_{1})}[/mm]
Das ist genau das, was ich versucht habe dir zu schreiben!
ob ich [mm] \vec{y}'=\vec{f(\vec{y},x} [/mm] schreibe oder
[mm] (\vektor{y1 \\ y2})'=\vektor{f1(x,y1,y2 \\ f2(x,y1,y2)}
[/mm]
oder y1=f1(x,y1,y2)
y2=f2(x,y1,y2)
schreibe ist doch alles genau dasselbe. wenn 2 Vektoren gleich sind, sind ihre Komponenten gleich.
> Danach folgt dann eine Tabelle mit den ausgerechneten
> werten deshalb konnte ich das nicht weiter nachvollziehen.
>
> Probleme hab ich jetzt wie gesagt bei der Umwandlung in ein
> System, ausserdem kann ich mit der Vektorschreibweise nicht
> so viel anfangen und ich weiß nicht so recht was ich mit
> der ersten Gleichung des Systems [mm](y_{0}'=y)[/mm] machen soll.
die gibt es nicht! siehe oben! vorn und hinten stehen verschiedene komponenten (d.h.funktionen.)
die eine Gleichung kannst du doch nicht ohne die andere lösen, weil in der zweiten ja wieder y1 aus der ersten vorkommt.
Das ist aber in dem System, von dem du sagst du hast es verstanden auch so!
> Die zweite Gleichung könnte ich schön gepflegt mit dem
> Eulerverfahren integrieren.
>
schreib mal die ersten 3 Schritte auf, wie du das von dir gelöste Problem machst.
(papula hab ich nicht, wenn du mich auf den verweist.)
ich find schade, dass du nicht auf die posts eingehst, und sagst, was du daran nicht verstehst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:46 Mo 04.02.2008 | | Autor: | polyurie |
Danke für die Hilfe. Habs jetzt gerafft. War gar nicht so schwer. Und das nächste Mal geh ich auch auf die posts ein ;)
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