DGL 2. Ordnung Resonanz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y′′ − 4y′ + 13y = 10sin(3x) |
Ich brauche hilfe bei der partikulären lösung. und zwar muss ich da ja den folgenden ansatz wählen: [mm] y_{p}=x*(Asin(3x)+Bcos(3x))
[/mm]
das x kommt daher, da 3 auch eine lösung der charakteristischen gleichung der homogenen lösung ist. es liegt also resonanz vor.
wenn ich das jetzt ableite bekomme ich für
[mm] y_{p}'=(A-3Bx)sin(3x)+(B+3Ax)cos(3x)
[/mm]
[mm] y_{p}''=(-6B-9Ax)sin(3x)+(6A-9Bx)cos(3x)
[/mm]
wenn man das jetzt in die DGL einsetzt bekommt man folgendes:
-6B+4Ax-4A+12Bx=10
-4B+12Ax+6A+4Bx=0
wie kann ich das jetzt weiter lösen? oder bin ich total auf den falschen weg?
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Hallo paul87,
> Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
> y′′ − 4y′ + 13y = 10sin(3x)
> Ich brauche hilfe bei der partikulären lösung. und zwar
> muss ich da ja den folgenden ansatz wählen:
> [mm]y_{p}=x*(Asin(3x)+Bcos(3x))[/mm]
Nein, denn [mm]\lambda=\pm3i[/mm] ist keine Lösung von
[mm]\lambda^{2}-4*\lambda+13=0[/mm]
Wähle daher den Ansatz
[mm]y_{p}=A*sin(3x)+B*cos(3x)[/mm]
>
> das x kommt daher, da 3 auch eine lösung der
> charakteristischen gleichung der homogenen lösung ist. es
> liegt also resonanz vor.
>
> wenn ich das jetzt ableite bekomme ich für
>
> [mm]y_{p}'=(A-3Bx)sin(3x)+(B+3Ax)cos(3x)[/mm]
>
> [mm]y_{p}''=(-6B-9Ax)sin(3x)+(6A-9Bx)cos(3x)[/mm]
>
>
> wenn man das jetzt in die DGL einsetzt bekommt man
> folgendes:
>
> -6B+4Ax-4A+12Bx=10
> -4B+12Ax+6A+4Bx=0
>
> wie kann ich das jetzt weiter lösen? oder bin ich total
> auf den falschen weg?
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
bei der charakteristischen gleichung kommt doch folgendes ergebnis raus:
[mm] k_{1/2}=2 \pm [/mm] j3
und in der störfunktion kommt doch die 3 vor. oder sehe ich das falsch?
in der formelsammlung steht: g(x)=sin(bx) und rechts daneben wenn jb eine lösung der charakteristischen gleichung ist, dann x(asin...)
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Hallo paul87,
> bei der charakteristischen gleichung kommt doch folgendes
> ergebnis raus:
>
> [mm]k_{1/2}=2 \pm[/mm] j3
Ja, das ist ja richtig.
>
> und in der störfunktion kommt doch die 3 vor. oder sehe
> ich das falsch?
>
> in der formelsammlung steht: g(x)=sin(bx) und rechts
> daneben wenn jb eine lösung der charakteristischen
> gleichung ist, dann x(asin...)
Das stimmt ja auch.
Hier haben leider die Lösungen der charakterischen Gleichung
noch einen Realteil, der verschieden von 0 ist.
Somit kannst Du den Ansatz nicht machen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
aha das gilt nur wenn der realteil null ist oder im sin eine komplette komplexe zahl steht wie sin(2+3j)?
super vielen dank für die nette hilfe und vor allem noch so spät. danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Fr 17.07.2009 | | Autor: | paul87 |
ich habe heute schon einmal eine frage gestellt, da haben sie auch geantwortet. da kam bei der charakteristischen lösung [mm] k_{1/2}=\pm [/mm] 2j raus. und die störfunktion war 24sinh(2x). da wurde mir gesagt das ich auch ohne resonanz rechnen soll. gilt das bei sinh bzw cosh nicht? vllt können sie den beitrag noch sehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Fr 17.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.im sin steht nie ne komplexe Ahl bei solchen Dgl.
2. merk dir lieber nur wenn A mal der rechten Seite eine loesung der homogenen Dgl ist kannst du den Ansatz mit A8rechter Seite nicht machen.
da hier aber cos3x und sin3x die homogene dgl nichtloesen ist der ansatz Acos3x+Bsin3x moeglich. ebenso, wenn die rechte seite [mm] e^{2x} [/mm] waere, denn [mm] e^{2x} [/mm] ist ja auch wieder keine Loesg der rechten Seite.
dasselbe gilt fuer deine Dgl aus der Mitteilung.
anders waere es wenn rechts [mm] 10*e^{2x}*sin3x [/mm] stuende, dann brauchtest du den ansatz x*... denn [mm] A*e^{2x}*sin3x [/mm] ist schon Loesung der homogenen Dgl.
Und: wir duzen uns hier alle
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Fr 17.07.2009 | | Autor: | paul87 |
super vielen vielen dank. jetzt hab ich das auch endlich verstanden. ich sollte mathe studieren ;) danke vielmals!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Torres87 |
Vertehe deinen Text leider nicht ganz, stände bei dieser Aufgabe also 0 [mm] \pm [/mm] j3 und wäre der Realteil = 0 dann könnte man also dieses hier holen $ [mm] y_{p}=x\cdot{}(Asin(3x)+Bcos(3x)) [/mm] $
Nur was ist gemeint mit dem Realteil?
Diese Aufgabe ist wirklich sehr interessant, denn diesen Aspekt kannte ich nicht und ist auch nicht näher in unserem Mathebuch erklärt!
Danke
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Hallo Torres87,
> Vertehe deinen Text leider nicht ganz, stände bei dieser
> Aufgabe also 0 [mm]\pm[/mm] j3 und wäre der Realteil = 0 dann
> könnte man also dieses hier holen
> [mm]y_{p}=x\cdot{}(Asin(3x)+Bcos(3x))[/mm]
>
> Nur was ist gemeint mit dem Realteil?
Nun die charakteristische Gleichung der obigen DGL hat
zwei komplexe Lösungen.
[mm]\lambda_{1,2}=a\pm j*b[/mm]
Dann nennt man a den Realteil von [mm]\lambda_{k}, \ k=0,1[/mm].
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> Diese Aufgabe ist wirklich sehr interessant, denn diesen
> Aspekt kannte ich nicht und ist auch nicht näher in
> unserem Mathebuch erklärt!
>
> Danke
Gruß
MathePower
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