DGL 2. Ordnung VdK < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen sie die DGL
[mm]t^2y'' - 2y = t^3cos(t)[/mm]
in zwei Schritten:
1) Finden sie linear unabhängige homogene Lösungen mit dem Ansatz [mm]t^r[/mm] mit einer reellen Zahl [mm]r[/mm].
2) Benutzen sie nun das Verfahren der Variation der Konstanten, um die angegebene DGL zu lösen. |
Hallo in die Runde,
wiedermal ein Problem meinerseits mit einer DGL. Ich hab die Aufgabe angefangen und für Teil 1 folgende homogene Lösung raus:
[mm]y(t) = C_1t^2 + C_2t^{-1}[/mm]
Die scheint auch soweit korrekt zu sein und löst die homogene DGL ganz anständig. Weiter gehts mir der Variation der Konstanten:
[mm]y_p(t) = C(t)y_h(t) = C(t)(t^2 + t^{-1})[/mm]
In die DGL eingesetzt ergibt sich folgendes:
[mm]C''(t^4 + t) + C'(4t^3 -2) = t^3cos(t)[/mm]
So - und jetzt? Das ist kein Stück einfacher geworden und ich hab keine Ahnung, wie ich das zum Geier lösen soll. Probiert habe ich es auch schon, indem ich für die homogene Lösung nur [mm] t^2 [/mm] oder nur 1/t einsetze, es ergibt sich allerdings in beiden Fällen am Ende keine für mich lösbare DGL. Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen.
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Hallo micha_goes_ti,
> Lösen sie die DGL
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> [mm]t^2y'' - 2y = t^3cos(t)[/mm]
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> in zwei Schritten:
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> 1) Finden sie linear unabhängige homogene Lösungen mit
> dem Ansatz [mm]t^r[/mm] mit einer reellen Zahl [mm]r[/mm].
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> 2) Benutzen sie nun das Verfahren der Variation der
> Konstanten, um die angegebene DGL zu lösen.
> Hallo in die Runde,
>
> wiedermal ein Problem meinerseits mit einer DGL. Ich hab
> die Aufgabe angefangen und für Teil 1 folgende homogene
> Lösung raus:
>
> [mm]y(t) = C_1t^2 + C_2t^{-1}[/mm]
>
> Die scheint auch soweit korrekt zu sein und löst die
> homogene DGL ganz anständig. Weiter gehts mir der
> Variation der Konstanten:
>
> [mm]y_p(t) = C(t)y_h(t) = C(t)(t^2 + t^{-1})[/mm]
Hier musst Du so ansetzen:
[mm]y_p(t) = C_{1}(t)*t^{2} + C_{2}(t)*t^{-1}[/mm]
Wird dieser Ansatz in die DGL eingesetzt, so muß
den Funktionen [mm]C_{1}(t)[/mm] und [mm]C_{2}(t)[/mm], um sie bestimmen
zu können, noch eine weitere Bedingung auferlegt werden:
[mm]C_{1}'(t)*t^{2} + C_{2}'(t)*t^{-1}=0[/mm]
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> In die DGL eingesetzt ergibt sich folgendes:
>
> [mm]C''(t^4 + t) + C'(4t^3 -2) = t^3cos(t)[/mm]
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> So - und jetzt? Das ist kein Stück einfacher geworden und
> ich hab keine Ahnung, wie ich das zum Geier lösen soll.
> Probiert habe ich es auch schon, indem ich für die
> homogene Lösung nur [mm]t^2[/mm] oder nur 1/t einsetze, es ergibt
> sich allerdings in beiden Fällen am Ende keine für mich
> lösbare DGL. Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen.
Gruss
MathePower
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Woher kommt denn diese Bedingung?
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Hallo micha_goes_ti,
> Woher kommt denn diese Bedingung?
Die Bedingung kommt daher, wenn die gegebene DGL 2. Ordnung
in ein System 1. Ordnung umgeschrieben wird.
[mm]t^{2}*y'' - 2y=t^{3}*\cos\left(t\right)[/mm]
Mit den Definitionen
[mm]u\left(t\right):=y\left(t\right)[/mm]
[mm]v\left(t\right):=u'\left(t\right)[/mm]
wird
[mm]\pmat{u' \\ v'}=\pmat{0 & 1 \\ \bruch{2}{t^{2}} & 0}*\pmat{u \\ v}+\pmat{0 \\ t*\cos\left(t\right)}[/mm]
Nun löst man, das homogene System:
[mm]\pmat{u' \\ v'}=\pmat{0 & 1 \\ \bruch{2}{t^{2}} & 0}*\pmat{u \\ v}[/mm]
Diese hat die Lösung
[mm]\pmat{u \\ v}=Y\left(t\right)=c_{1}*Y_{1}\left(t\right)+c_{2}*Y_{2}\left(t\right)[/mm]
mit [mm]c_{1}, \ c_{2} \in \IR[/mm]
Für die inhomogene Lösung wird die Variation der Konstanten angewendet:
[mm]Y\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)*Y_{1}\left(t\right)+c_{2}\left(t\right)*Y_{2}\left(t\right)[/mm]
Eingesetzt in das DGL-System bleibt schließlich stehen:
[mm]c_{1}\left(t\right)*Y_{1}\left(t\right)+c_{2}\left(t\right)*Y_{2}\left(t\right)=S\left(t\right)[/mm]
Nun, ist hier die Störfunktion [mm]S\left(t\right)=\pmat{0 \\ s\left(t\right)}[/mm],
wobei [mm]s\left(t\right)[/mm] die Störfunktion bei der DGL 2. Ordnung ist.
Ausgeschrieben lauten dann die Gleichungen:
[mm]c_{1}'\left(t\right)*u_{1}\left(t\right)+c_{2}'\left(t\right)*u_{2}\left(t\right)=0[/mm]
[mm]c_{1}'\left(t\right)*v_{1}\left(t\right)+c_{2}'\left(t\right)*v_{2}\left(t\right)=s\left(t\right)[/mm]
Nun gilt: [mm]v_{i}=u_{i}', \ i=1,2[/mm]
Damit steht dann da:
[mm]c_{1}'\left(t\right)*u_{1}\left(t\right)+c_{2}'\left(t\right)*u_{2}\left(t\right)=0[/mm]
[mm]c_{1}'\left(t\right)*u_{1}'\left(t\right)+c_{2}'\left(t\right)*u_{2}'\left(t\right)=s\left(t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
bei deinem Schritt "Eingesetzt in das DGL-System..." verstehe ich nicht, was du da gemacht hast. Das, was du da stehen hast, ist doch jedenfalls nicht das, was sich ergibt, wenn man die homogene Lösung mit den variierenden Konstanten ins System einsetzt. Was hast du da gemacht?
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Hallo micha_goes_ti,
> Hallo MathePower,
>
> bei deinem Schritt "Eingesetzt in das DGL-System..."
> verstehe ich nicht, was du da gemacht hast. Das, was du da
> stehen hast, ist doch jedenfalls nicht das, was sich
> ergibt, wenn man die homogene Lösung mit den variierenden
> Konstanten ins System einsetzt. Was hast du da gemacht?
Gut, da habe ich mich verschrieben.
Richtig muß es heißen:
[mm] c_{1}\blue{'}\left(t\right)\cdot{}Y_{1}\left(t\right)+c_{2}\blue{'}\left(t\right)}\cdot{}Y_{2}\left(t\right)=S\left(t\right) [/mm]
Gruss
MathePower
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