DGL 2 ordnung - Formel < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Benutzen Sie die angegebene Formel zur Berechnung einer partikulären Lösung von
[mm] x``-6x`+10x=e^{3t}cos(t)
[/mm]
Formel: [mm] x_p(t)=-x_1(t)\integral_{t_0}^{t}{\bruch{x_2(s)g(s)}{W(s)} ds}+x_2(t)\integral_{t_0}^{t}{\bruch{x_1(s)g(s)}{W(s)} ds}
[/mm]
ist eine partikuläre Lösung von x``+ax`+bx=g(t), wobei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] zwei unabhängige Basislösungen der homogenen Gleichung x``+ax`+bx=0 sind und mit
[mm] W(s)=x_1(s)x_2`(s)-x_1`(s)x_2(s)
[/mm]
die sogenannte Wronski-Determinente bezeichnet wird. Dafür kann man zeigen, dass W(s) [mm] \not= [/mm] 0 für alle s ist |
homogene Lösung:
x''-6x'+10x=0
[mm] \lambda^2-6\lambda+10=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=-+i-3
[/mm]
[mm] x_1(t)=e^{-3t}C_1cos(t)
[/mm]
[mm] x_2(t)=e^{-3t}C_2sin(t)
[/mm]
[mm] W(s)=e^{-3s}C_1cos(s)*(-3e^s*C_2sin(s)+C_2cos(s)*e^{-3s})-(-3e^s*C_1cos(s)-C_1sin(s)*e^{-3s})*e^{-3s}C_2sin(s)
[/mm]
kann ich das weiter vereinfachen?
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Hallo arbeitsamt,
> Benutzen Sie die angegebene Formel zur Berechnung einer
> partikulären Lösung von
>
> [mm]x''-6x'+10x=e^{3t}cos(t)[/mm]
>
> Formel:
> [mm]x_p(t)=-x_1(t)\integral_{t_0}^{t}{\bruch{x_2(s)g(s)}{W(s)} ds}+x_2(t)\integral_{t_0}^{t}{\bruch{x_1(s)g(s)}{W(s)} ds}[/mm]
>
> ist eine partikuläre Lösung von x''+ax'+bx=g(t), wobei
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] zwei unabhängige Basislösungen der homogenen
> Gleichung x''+ax'+bx=0 sind und mit
>
> [mm]W(s)=x_1(s)x_2'(s)-x_1'(s)x_2(s)[/mm]
>
> die sogenannte Wronski-Determinente bezeichnet wird. Dafür
> kann man zeigen, dass W(s) [mm]\not=[/mm] 0 für alle s ist
> homogene Lösung:
>
> x''-6x'+10x=0
>
> [mm]\lambda^2-6\lambda+10=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=-+i-3[/mm]
>
> [mm]x_1(t)=e^{-3t}C_1cos(t)[/mm]
>
> [mm]x_2(t)=e^{-3t}C_2sin(t)[/mm]
>
> [mm]W(s)=e^{-3s}C_1cos(s)*(-3e^s*C_2sin(s)+C_2cos(s)*e^{-3s})-(-3e^s*C_1cos(s)-C_1sin(s)*e^{-3s})*e^{-3s}C_2sin(s)[/mm]
>
> kann ich das weiter vereinfachen?
Ja.
Ausmultiplizieren und Additionstheorem anwenden.
Die Konstanten sind bei der
Berechung der partikulären Lösung nicht relevant.
Gruss
MathePower
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hallo,
ausmultipliziert erhalte ich
[mm] W(s)=cos^2(s)+sin^2(s)
[/mm]
welches additionstheorem muss ich anwenden, um es weiter zu vereinfachen?
hier finde ich kein passendes: http://www.mathepedia.de/Additionstheoreme.aspx
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
>
> ausmultipliziert erhalte ich
>
> [mm]W(s)=cos^2(s)+sin^2(s)[/mm]
>
Das stimmt nicht ganz..
> welches additionstheorem muss ich anwenden, um es weiter zu
> vereinfachen?
>
Verwende hier den trigonometrischen Pythagoras.
> hier finde ich kein passendes:
> http://www.mathepedia.de/Additionstheoreme.aspx
>
Gruss
MathePower
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hallo,
[mm] W(s)=e^{-6s}(cos^2(s)+sin^2(s))=e^{-6s}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x_p(t)=-e^{-3s}cos(t)\integral{\bruch{e^{-3s}sin(s)*e^{3s}cos(s)}{e^{-6}}ds}+e^{-3t}sin(t)\integral{\bruch{e^{-3s}cos(s)*e^{3s}cos(s)}{e^{-6}}ds}
[/mm]
[mm] x_p(t)=-e^{-3s}cos(t)\integral{e^6sin(s)cos(s)ds}+e^{-3t}sin(t)\integral{e^6cos^2(s)ds}
[/mm]
ich frage mich gerade: muss ich ein unbestimmtes oder wie in der formel ein bestimmtes integral integrieren? muss ich die grenzen nicht kennen?
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
>
> [mm]W(s)=e^{-6s}(cos^2(s)+sin^2(s))=e^{-6s}[/mm]
>
Die homogene Lösung der DGL stimmt nicht:
[mm]x_{1}\left(t\right)=e^{\blue{3*t}}*\cos\left(t\right)[/mm]
[mm]x_{2}\left(t\right)=e^{\blue{3*t}}*\sin\left(t\right)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=-e^{-3s}cos(t)\integral{\bruch{e^{-3s}sin(s)*e^{3s}cos(s)}{e^{-6}}ds}+e^{-3t}sin(t)\integral{\bruch{e^{-3s}cos(s)*e^{3s}cos(s)}{e^{-6}}ds}[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=-e^{-3s}cos(t)\integral{e^6sin(s)cos(s)ds}+e^{-3t}sin(t)\integral{e^6cos^2(s)ds}[/mm]
>
> ich frage mich gerade: muss ich ein unbestimmtes oder wie
> in der formel ein bestimmtes integral integrieren? muss ich
> die grenzen nicht kennen?
DIe partikuläre Lösung einer DGL ist unabhängig von den Grenzen.
Gruss
MathePower
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hallo,
ich lasse ma paar Zwischenrechnungen weg. angenommen die folgende erste Gleichung wäre richtig
[mm] x_p(t)=-e^{3t}cos(t)\integral_{t_0}^{t}{sin(s)cos(s) ds}+e^{3t}sin(t)\integral_{t_0}^{t}{cos^2(s) ds}
[/mm]
[mm] x_p(t)=-e^{3t}cos(t)[\bruch{1}{2}sin(s)]_{t_0}^{t}+e^{3t}sin(t)(\bruch{[sin(s)cos(s)]_{t_0}^{t}}{2}+\bruch{[s]_{t_0}^{t}}{2})
[/mm]
[mm] x_p(t)=-e^{3t}cos(t)(\bruch{1}{2}sin(t)-\bruch{1}{2}sin(t_0))+e^{3t}sin(t)(\bruch{sin(t)cos(t)-sin(t_0)cos(t_0)}{2}+\bruch{t-t_0}{2})
[/mm]
[mm] x_p(t)= \bruch{-e^{3t}cos(t)sin(t)}{2}+\bruch{e^{3t}cos(t)sin(t_0)}{2}+\bruch{e^{3t}sin^2(t)cos(t)}{2}-\bruch{e^{3t}sin(t)*sin(t_0)cos(t_0)}{2}+\bruch{e^{3t}sin(t)*t}{2}-\bruch{e^{3t}sin(t)*t_0}{2}
[/mm]
ist das soweit richtig? ich dachte die grenzen [mm] (t_0) [/mm] würden sich weg kürzen,aber das tun sie hier nicht
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
>
> ich lasse ma paar Zwischenrechnungen weg. angenommen die
> folgende erste Gleichung wäre richtig
>
> [mm]x_p(t)=-e^{3t}cos(t)\integral_{t_0}^{t}{sin(s)cos(s) ds}+e^{3t}sin(t)\integral_{t_0}^{t}{cos^2(s) ds}[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=-e^{3t}cos(t)[\bruch{1}{2}sin(s)]_{t_0}^{t}+e^{3t}sin(t)(\bruch{[sin(s)cos(s)]_{t_0}^{t}}{2}+\bruch{[s]_{t_0}^{t}}{2})[/mm][/s][/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]x_p(t)=-e^{3t}cos(t)[\bruch{1}{2}sin^{\red{2}}(s)]_{t_0}^{t}+e^{3t}sin(t)(\bruch{[sin(s)cos(s)]_{t_0}^{t}}{2}+\bruch{[s]_{t_0}^{t}}{2})[/mm]
> [mm][s] [/s][/mm]
> [mm][s][/s][/mm]
> [mm][s][/s][/mm]
> [mm][s][mm]x_p(t)=-e^{3t}cos(t)(\bruch{1}{2}sin(t)-\bruch{1}{2}sin(t_0))+e^{3t}sin(t)(\bruch{sin(t)cos(t)-sin(t_0)cos(t_0)}{2}+\bruch{t-t_0}{2})[/mm][/s][/mm]
> [mm][s] [/s][/mm]
> [mm][s][/s][/mm]
> [mm][s][mm]x_p(t)= \bruch{-e^{3t}cos(t)sin(t)}{2}+\bruch{e^{3t}cos(t)sin(t_0)}{2}+\bruch{e^{3t}sin^2(t)cos(t)}{2}-\bruch{e^{3t}sin(t)*sin(t_0)cos(t_0)}{2}+\bruch{e^{3t}sin(t)*t}{2}-\bruch{e^{3t}sin(t)*t_0}{2}[/mm][/s][/mm]
> [mm][s] [/s][/mm]
> [mm][s]ist das soweit richtig? ich dachte die grenzen [mm](t_0)[/mm] [/s][/mm]
> [mm][s]würden sich weg kürzen,aber das tun sie hier nicht [/s][/mm]
Die letzten 4 Summanden stimmen.
Gruss
MathePower
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