DGL 2ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] y^{''} [/mm] + [mm] 2y^{'} [/mm] + [mm] y^{} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] + 1
Aufgabe: Bestimme eine partikuläre Lösung. |
Hallo zusammen,
mein erster Post hier, hoffe das klappt 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll für die obige DGL eine Lösung finden.
Als erstes wäre mir eingefallen, sie zu erraten oder Typ Ansatz der rechten Seite. Das hat auch gut geklappt.
Ich würde das aber gerne mit Variation der Konstanten zur Übung machen und dabei hänge ich irgendwie.
Bei DGL 1. Ordnung berechne ich dazu die Lösung [mm] y_{H}. [/mm] Anschließend setze ich [mm] c_{1} [/mm] als Funktion von x, leite diese ab und setze sie in die DGL. Das wollte ich nun auch bei obiger Gleichung versuchen.
Als [mm] \lambda [/mm] von [mm] y_{H} [/mm] erhalte ich [mm] \pm [/mm] -1 als doppelte NST.
Also lautet meine allgemeine homogene Lösung [mm] y_{x} [/mm] = [mm] c_{1}*e^{-x} [/mm] + [mm] c_{2}*xe^{-x}. [/mm] Richtig?
Berechne ich nun die Ableitungen der homogenen Lösung und setze diese in die Ausgangsgleichung ein, ergibt sich ein riesiger Term der nicht aufgeht. Dort bleibt dann z.B. [mm] c_{1}^{''} [/mm] und [mm] c_{1}^{'} [/mm] stehen und ich bekomme es nicht mehr gelöst. Ist das Vorgehen so weit korrekt oder kann ich bei einer DGL 2ter Ordnung die Variation der Konstanten auch einfacher ausrechnen?
Danke im Voraus und Gruß,
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Meinst du etwas in diese Richtung:
[mm] y^{} [/mm] = [mm] u_{1}
[/mm]
[mm] y^{'} [/mm] = [mm] u_{2} [/mm] = [mm] u_{1}^{'}
[/mm]
[mm] y^{''} [/mm] = [mm] u_{3} [/mm] = [mm] u_{2}^{'}
[/mm]
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Hallo Unwissender3,
> Meinst du etwas in diese Richtung:
>
> [mm]y^{}[/mm] = [mm]u_{1}[/mm]
> [mm]y^{'}[/mm] = [mm]u_{2}[/mm] = [mm]u_{1}^{'}[/mm]
> [mm]y^{''}[/mm] = [mm]u_{3}[/mm] = [mm]u_{2}^{'}[/mm]
[mm]y''=u_{3}[/mm] zu setzen, kannst Du Dir sparen,
so daß nur da steht:
[mm]y''=u_{2}^{'}[/mm]
Genau sowas meine ich.
Gruss
MathePower
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Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
[mm] u_{2}^{'} [/mm] + 2 [mm] u_{2} [/mm] + [mm] u_{1} [/mm] = [mm] x^{} [/mm] + 1
kann ich das so schreiben.
und ich habe meine Lösung [mm] y_{1} [/mm] = [mm] c_{1}e^{-x} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] = [mm] c_{2} x^{}e^{-x}
[/mm]
setze ich jetzt für [mm] u_{1} [/mm] die Lösung [mm] y_{1} [/mm] = [mm] c_{1}e^{-x} [/mm] ein und für [mm] u_{2} [/mm] , [mm] y_{2} [/mm] = [mm] c_{2} x^{}e^{-x}
[/mm]
leite das ab und berechne meine Konstanten?
Wenn ja, irgendwie kann ich [mm] c_{2} *x^{}*e^{-x} [/mm] nicht ableiten. Ist das Produktregel, denn ich habe ja 3 von x abhängige Terme.
Danke für deine Hilfe!
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Hallo Unwissender3,
> Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
>
> ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
>
> [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
>
> kann ich das so schreiben.
Das System lautet doch so:
[mm]\pmat{u_{1}^{'} \\u_{2}^{'}}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & -2}*\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\ x+1}[/mm]
> und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] =
> [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> setze ich jetzt für [mm]u_{1}[/mm] die Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm]
> ein und für [mm]u_{2}[/mm] , [mm]y_{2}[/mm] = [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
> leite das ab
Es ist [mm]u_{1}=y=c_{1}*e^{-x}+c_{2}*x*e^{-x}[/mm]
Da [mm]u_{2}=y'[/mm] ergibt sich die Lösung des homogenen Systems zu:
[mm]u=\pmat{u_{1} \\ u_{2}}=\pmat{y \\y'}[/mm]
Und jetzt kannst Du die Variation der Konstanten anwenden.
> und berechne meine Konstanten?
>
> Wenn ja, irgendwie kann ich [mm]c_{2} *x^{}*e^{-x}[/mm] nicht
> ableiten. Ist das Produktregel, denn ich habe ja 3 von x
> abhängige Terme.
>
> Danke für deine Hilfe!
Gruss
MathePower
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> Hallo Unwissender3,
>
> > Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
> >
> > ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
> >
> > [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
> >
> > kann ich das so schreiben.
>
>
> Das System lautet doch so:
>
> [mm]\pmat{u_{1}^{'} \\u_{2}^{'}}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & -2}*\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\ x+1}[/mm]
>
>
Das kann ich so weit nachvollziehen. Das ist einfach die Bedingung und die Gleichung.
> > und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] =
> > [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
> >
> > setze ich jetzt für [mm]u_{1}[/mm] die Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm]
> > ein und für [mm]u_{2}[/mm] , [mm]y_{2}[/mm] = [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
> > leite
> das ab
>
>
> Es ist [mm]u_{1}=y=c_{1}*e^{-x}+c_{2}*x*e^{-x}[/mm]
>
> Da [mm]u_{2}=y'[/mm] ergibt sich die Lösung des homogenen Systems
> zu:
>
> [mm]u=\pmat{u_{1} \\ u_{2}}=\pmat{y \\y'}[/mm]
>
Hier bin ich irgendwie verwirrt. Ich habe doch die Lösung der Homogenen Gleichung bereits. Welchen Vorteil hat sie in dieser Form? Welche Vorteil gewinnen ich für die Variation der Konstanten?
Funktioniert die Variationd er Konstanten mit einer Matrix genauso wie mit einer normalen Gleichung?
> Und jetzt kannst Du die Variation der Konstanten anwenden.
>
>
> > und berechne meine Konstanten?
> >
> > Wenn ja, irgendwie kann ich [mm]c_{2} *x^{}*e^{-x}[/mm] nicht
> > ableiten. Ist das Produktregel, denn ich habe ja 3 von x
> > abhängige Terme.
> >
> > Danke für deine Hilfe!
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Unwissender3,
> > Hallo Unwissender3,
> >
> > > Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
> > >
> > > ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
> > >
> > > [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
> > >
> > > kann ich das so schreiben.
> >
> >
> > Das System lautet doch so:
> >
> > [mm]\pmat{u_{1}^{'} \\u_{2}^{'}}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & -2}*\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\ x+1}[/mm]
>
> >
> >
> Das kann ich so weit nachvollziehen. Das ist einfach die
> Bedingung und die Gleichung.
>
> > > und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] =
> > > [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
> > >
> > > setze ich jetzt für [mm]u_{1}[/mm] die Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm]
> > > ein und für [mm]u_{2}[/mm] , [mm]y_{2}[/mm] = [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
> > >
> leite
> > das ab
> >
> >
> > Es ist [mm]u_{1}=y=c_{1}*e^{-x}+c_{2}*x*e^{-x}[/mm]
> >
> > Da [mm]u_{2}=y'[/mm] ergibt sich die Lösung des homogenen Systems
> > zu:
> >
> > [mm]u=\pmat{u_{1} \\ u_{2}}=\pmat{y \\y'}[/mm]
> >
>
> Hier bin ich irgendwie verwirrt. Ich habe doch die Lösung
> der Homogenen Gleichung bereits. Welchen Vorteil hat sie in
Du hast die Lösung y der sklaren DGL 2. Ordnung.
> dieser Form? Welche Vorteil gewinnen ich für die Variation
> der Konstanten?
Nun, den Vorteil, daß Du die Variation der Konstanten wie gewohnt anwenden kannst.
>
> Funktioniert die Variationd er Konstanten mit einer Matrix
> genauso wie mit einer normalen Gleichung?
Ja.
> > Und jetzt kannst Du die Variation der Konstanten
> anwenden.
> >
> >
> > > und berechne meine Konstanten?
> > >
> > > Wenn ja, irgendwie kann ich [mm]c_{2} *x^{}*e^{-x}[/mm] nicht
> > > ableiten. Ist das Produktregel, denn ich habe ja 3 von x
> > > abhängige Terme.
> > >
> > > Danke für deine Hilfe!
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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Ich werde mir das morgen nochmal anschauen.
Irgendwie ist der Funke noch nicht übergesprungen.^^
Danke für deine Hilfe.
Gruß und schönen Abend.
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Ich hab es irgendwie immer noch nicht ganz verstanden, an welcher Stelle genau der entscheidende Kniff ist.
> Hallo Unwissender3,
>
> > > Hallo Unwissender3,
> > >
> > > > Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
> > > >
> > > > ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
> > > >
> > > > [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
> > > >
Dies ist die Gleichung die ich jetzt habe. Mit dieser arbeite ich weiter und darin setze ich ein
> > > > und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
ich erhalte außerdem [mm] y_{(x)} [/mm] = [mm] u_{1}=[/mm] [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
und jetzt fehlt mir der Kniff. Ich muss doch, um das einzusetzen wieder 2 mal ableiten und habe dadurch doch keinen Vorteil. Wenn ich jetzt zweimal ableite, habe ich wieder einen ewigen Termin oder geht das tatsächlich so?
Gruß und danke für evtl. nochmaliges nachschauen.
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Hallo Unwissender3,
> Ich hab es irgendwie immer noch nicht ganz verstanden, an
> welcher Stelle genau der entscheidende Kniff ist.
>
>
> > Hallo Unwissender3,
> >
> > > > Hallo Unwissender3,
> > > >
> > > > > Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
> > > > >
> > > > > ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
> > > > >
> > > > > [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
> > > > >
>
> Dies ist die Gleichung die ich jetzt habe. Mit dieser
> arbeite ich weiter und darin setze ich ein
>
> > > > > und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> ich erhalte außerdem [mm]y_{(x)}[/mm] = [mm]u_{1}=[/mm] [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
Die homogene Lösung des DGL-Systems
[mm]\pmat{u_{1} \\ u_{2}}'=\pmat{0 & 1 \\-2 &-1}\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\x+1}[/mm]
lautet
[mm]\pmat{u_{1}\left(x\right) \\u_{2}\left(x\right)}=c_{1}*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}=\pmat{y\left(x\right) \\y'\left(x\right)}[/mm]
>
> und jetzt fehlt mir der Kniff. Ich muss doch, um das
> einzusetzen wieder 2 mal ableiten und habe dadurch doch
> keinen Vorteil. Wenn ich jetzt zweimal ableite, habe ich
> wieder einen ewigen Termin oder geht das tatsächlich so?
>
> Gruß und danke für evtl. nochmaliges nachschauen.
>
Gruss
MathePower
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Wow danke für die schnelle Antwort und deine Geduld.
Jetzt sehe ich langsam, an welcher Stelle wir uns unterscheiden bzw. vermutlich mein Denkfehler liegt.
> Hallo Unwissender3,
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> > Ich hab es irgendwie immer noch nicht ganz verstanden, an
> > welcher Stelle genau der entscheidende Kniff ist.
> >
> >
> > > Hallo Unwissender3,
> > >
> > > > > Hallo Unwissender3,
> > > > >
> > > > > > Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
> > > > > >
> > > > > > ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
> > > > > >
> > > > > > [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
> > > > > >
> >
> > Dies ist die Gleichung die ich jetzt habe. Mit dieser
> > arbeite ich weiter und darin setze ich ein
> >
> > > > > > und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> >
> > ich erhalte außerdem [mm]y_{(x)}[/mm] = [mm]u_{1}=[/mm] [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
>
> Die homogene Lösung des DGL-Systems
>
> [mm]\pmat{u_{1} \\ u_{2}}'=\pmat{0 & 1 \\-2 &-1}\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\x+1}[/mm]
>
> lautet
>
> [mm]\pmat{u_{1}\left(x\right) \\u_{2}\left(x\right)}=c_{1}*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}=\pmat{y\left(x\right) \\y'\left(x\right)}[/mm]
>
Hier liegt mein Verständnis Problem. In deiner Gleichung ist
[mm] y^{'}{(x)} [/mm] = [mm] -c_{1}*e^{-x} [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-x} [/mm] - [mm] c_{2}*x *e^{x}.
[/mm]
So, das ist die Ableitung wenn ich [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] aus der homogenen Lösung nicht als Variabel sehe. Bei Trennung der Variablen setzte ich doch aber immer die Unbekannte als Funktion von dem entsprechenden Parameter und muss dieses c dann mit ableiten oder?
>
> >
> > und jetzt fehlt mir der Kniff. Ich muss doch, um das
> > einzusetzen wieder 2 mal ableiten und habe dadurch doch
> > keinen Vorteil. Wenn ich jetzt zweimal ableite, habe ich
> > wieder einen ewigen Termin oder geht das tatsächlich so?
> >
> > Gruß und danke für evtl. nochmaliges nachschauen.
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Unwissender3,
> Wow danke für die schnelle Antwort und deine Geduld.
> Jetzt sehe ich langsam, an welcher Stelle wir uns
> unterscheiden bzw. vermutlich mein Denkfehler liegt.
>
> > Hallo Unwissender3,
> >
> > > Ich hab es irgendwie immer noch nicht ganz verstanden, an
> > > welcher Stelle genau der entscheidende Kniff ist.
> > >
> > >
> > > > Hallo Unwissender3,
> > > >
> > > > > > Hallo Unwissender3,
> > > > > >
> > > > > > > Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
> > > > > > >
> > > > > > > ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
> > > > > > >
> > >
> > > Dies ist die Gleichung die ich jetzt habe. Mit dieser
> > > arbeite ich weiter und darin setze ich ein
> > >
> > > > > > > und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ich erhalte außerdem [mm]y_{(x)}[/mm] = [mm]u_{1}=[/mm] [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> >
> >
> > Die homogene Lösung des DGL-Systems
> >
> > [mm]\pmat{u_{1} \\ u_{2}}'=\pmat{0 & 1 \\-2 &-1}\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\x+1}[/mm]
>
> >
> > lautet
> >
> > [mm]\pmat{u_{1}\left(x\right) \\u_{2}\left(x\right)}=c_{1}*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}=\pmat{y\left(x\right) \\y'\left(x\right)}[/mm]
>
> >
>
> Hier liegt mein Verständnis Problem. In deiner Gleichung
> ist
>
> [mm]y^{'}{(x)}[/mm] = [mm]-c_{1}*e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2}*e^{-x}[/mm] - [mm]c_{2}*x *e^{x}.[/mm]
>
> So, das ist die Ableitung wenn ich [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] aus der
> homogenen Lösung nicht als Variabel sehe. Bei Trennung der
> Variablen setzte ich doch aber immer die Unbekannte als
Hier meinst Du die "Variation der Konstanten".
> Funktion von dem entsprechenden Parameter und muss dieses c
> dann mit ableiten oder?
> >
Zur Bestimmung einer partikulären Lösung,
setzt Du die Konstanten in Abhängigkeit von x.
Demnach Ansatz für eine partikuläre Lösung:
[mm]\pmat{u_{p1}\left(x\right) \\u_{p2}\left(x\right)}=c_{1}\left(x\right)*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}\left(x\right)*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}[/mm]
> > >
> > > und jetzt fehlt mir der Kniff. Ich muss doch, um das
> > > einzusetzen wieder 2 mal ableiten und habe dadurch doch
> > > keinen Vorteil. Wenn ich jetzt zweimal ableite, habe ich
> > > wieder einen ewigen Termin oder geht das tatsächlich so?
> > >
> > > Gruß und danke für evtl. nochmaliges nachschauen.
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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Ich spring gleich aus dem Fenster^^
> Hallo Unwissender3,
>
> > Wow danke für die schnelle Antwort und deine Geduld.
> > Jetzt sehe ich langsam, an welcher Stelle wir uns
> > unterscheiden bzw. vermutlich mein Denkfehler liegt.
> >
> > > Hallo Unwissender3,
> > >
> > > > Ich hab es irgendwie immer noch nicht ganz verstanden, an
> > > > welcher Stelle genau der entscheidende Kniff ist.
> > > >
> > > >
> > > > > Hallo Unwissender3,
> > > > >
> > > > > > > Hallo Unwissender3,
> > > > > > >
> > > > > > > > Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
> > > > > > > >
> > > > > > > > ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
> > > > > > > >
> > > >
> > > > Dies ist die Gleichung die ich jetzt habe. Mit dieser
> > > > arbeite ich weiter und darin setze ich ein
> > > >
> > > > > > > > und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > ich erhalte außerdem [mm]y_{(x)}[/mm] = [mm]u_{1}=[/mm] [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Die homogene Lösung des DGL-Systems
> > >
> > > [mm]\pmat{u_{1} \\ u_{2}}'=\pmat{0 & 1 \\-2 &-1}\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\x+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > lautet
> > >
> > > [mm]\pmat{u_{1}\left(x\right) \\u_{2}\left(x\right)}=c_{1}*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}=\pmat{y\left(x\right) \\y'\left(x\right)}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Hier liegt mein Verständnis Problem. In deiner Gleichung
> > ist
> >
> > [mm]y^{'}{(x)}[/mm] = [mm]-c_{1}*e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2}*e^{-x}[/mm] - [mm]c_{2}*x *e^{x}.[/mm]
>
> >
> > So, das ist die Ableitung wenn ich [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] aus der
> > homogenen Lösung nicht als Variabel sehe. Bei Trennung der
> > Variablen setzte ich doch aber immer die Unbekannte als
>
>
> Hier meinst Du die "Variation der Konstanten".
>
Ja meinte ich sorry, aber die Aufgabe macht mich verrückt.
>
> > Funktion von dem entsprechenden Parameter und muss dieses c
> > dann mit ableiten oder?
> > >
>
> Zur Bestimmung einer partikulären Lösung,
> setzt Du die Konstanten in Abhängigkeit von x.
>
> Demnach Ansatz für eine partikuläre Lösung:
>
> [mm]\pmat{u_{p1}\left(x\right) \\u_{p2}\left(x\right)}=c_{1}\left(x\right)*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}\left(x\right)*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}[/mm]
>
>
Ich muss c von der Variablen x abhängig machen. So weit klar. Aber was genau mache ich jetzt damit? Normalerweise würde ich [mm] y_{p} [/mm] in die Gleichung einsetzen mit den entsprechenden Ableitungen.
Hier habe ich eine Matrix, die bereits Ableitungen enthält, allerdings mit c als Konstante nicht von x abhängig.
Ich kann mit den Matrixen irgendwie noch nichts anfangen. Muss ich die Matrix
[mm]\pmat{u_{p1}\left(x\right) \\u_{p2}\left(x\right)}=c_{1}\left(x\right)*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}\left(x\right)*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}[/mm]
hier einsetzen
[mm]\pmat{u_{1} \\ u_{2}}'=\pmat{0 & 1 \\-2 &-1}\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\x+1}[/mm]
?
> > > >
> > > > und jetzt fehlt mir der Kniff. Ich muss doch, um das
> > > > einzusetzen wieder 2 mal ableiten und habe dadurch doch
> > > > keinen Vorteil. Wenn ich jetzt zweimal ableite, habe ich
> > > > wieder einen ewigen Termin oder geht das tatsächlich so?
> > > >
> > > > Gruß und danke für evtl. nochmaliges nachschauen.
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Mit verzweifelten Grüßen 
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Hallo Unwissender3,
> Ich spring gleich aus dem Fenster^^
>
> > Hallo Unwissender3,
> >
> > > Wow danke für die schnelle Antwort und deine Geduld.
> > > Jetzt sehe ich langsam, an welcher Stelle wir uns
> > > unterscheiden bzw. vermutlich mein Denkfehler liegt.
> > >
> > > > Hallo Unwissender3,
> > > >
> > > > > Ich hab es irgendwie immer noch nicht ganz verstanden, an
> > > > > welcher Stelle genau der entscheidende Kniff ist.
> > > > >
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> > > > > > Hallo Unwissender3,
> > > > > >
> > > > > > > > Hallo Unwissender3,
> > > > > > > >
> > > > > > > > > Hmm...jetzt hängt es irgendwie noch:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > ich erhalte die Gleichung nach Substitution:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > [mm]u_{2}^{'}[/mm] + 2 [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{1}[/mm] = [mm]x^{}[/mm] + 1
> > > > > > > > >
> > > > >
> > > > > Dies ist die Gleichung die ich jetzt habe. Mit dieser
> > > > > arbeite ich weiter und darin setze ich ein
> > > > >
> > > > > > > > > und ich habe meine Lösung [mm]y_{1}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > ich erhalte außerdem [mm]y_{(x)}[/mm] = [mm]u_{1}=[/mm] [mm]c_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2} x^{}e^{-x}[/mm]
>
> >
> > >
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> > > >
> > > > Die homogene Lösung des DGL-Systems
> > > >
> > > > [mm]\pmat{u_{1} \\ u_{2}}'=\pmat{0 & 1 \\-2 &-1}\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\x+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > lautet
> > > >
> > > > [mm]\pmat{u_{1}\left(x\right) \\u_{2}\left(x\right)}=c_{1}*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}=\pmat{y\left(x\right) \\y'\left(x\right)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > Hier liegt mein Verständnis Problem. In deiner Gleichung
> > > ist
> > >
> > > [mm]y^{'}{(x)}[/mm] = [mm]-c_{1}*e^{-x}[/mm] + [mm]c_{2}*e^{-x}[/mm] - [mm]c_{2}*x *e^{x}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > So, das ist die Ableitung wenn ich [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] aus der
> > > homogenen Lösung nicht als Variabel sehe. Bei Trennung der
> > > Variablen setzte ich doch aber immer die Unbekannte als
> >
> >
> > Hier meinst Du die "Variation der Konstanten".
> >
> Ja meinte ich sorry, aber die Aufgabe macht mich
> verrückt.
> >
> > > Funktion von dem entsprechenden Parameter und muss dieses c
> > > dann mit ableiten oder?
> > > >
> >
> > Zur Bestimmung einer partikulären Lösung,
> > setzt Du die Konstanten in Abhängigkeit von x.
> >
> > Demnach Ansatz für eine partikuläre Lösung:
> >
> > [mm]\pmat{u_{p1}\left(x\right) \\u_{p2}\left(x\right)}=c_{1}\left(x\right)*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}\left(x\right)*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}[/mm]
>
> >
> >
> Ich muss c von der Variablen x abhängig machen. So weit
> klar. Aber was genau mache ich jetzt damit? Normalerweise
> würde ich [mm]y_{p}[/mm] in die Gleichung einsetzen mit den
> entsprechenden Ableitungen.
> Hier habe ich eine Matrix, die bereits Ableitungen
> enthält, allerdings mit c als Konstante nicht von x
> abhängig.
> Ich kann mit den Matrixen irgendwie noch nichts anfangen.
> Muss ich die Matrix
>
> [mm]\pmat{u_{p1}\left(x\right) \\u_{p2}\left(x\right)}=c_{1}\left(x\right)*\pmat{1 \\ -1}e^{-x}+c_{2}\left(x\right)*\pmat{x \\ 1-x}e^{-x}[/mm]
Das ist ein Vektor, der Lösungsvektor.
>
> hier einsetzen
>
> [mm]\pmat{u_{1} \\ u_{2}}'=\pmat{0 & 1 \\-2 &-1}\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\x+1}[/mm]
>
> ?
Ja, der Lösungsvektor wird in diese Gleichung eingesetzt.
> > > > >
> > > > > und jetzt fehlt mir der Kniff. Ich muss doch, um das
> > > > > einzusetzen wieder 2 mal ableiten und habe dadurch doch
> > > > > keinen Vorteil. Wenn ich jetzt zweimal ableite, habe ich
> > > > > wieder einen ewigen Termin oder geht das tatsächlich so?
> > > > >
> > > > > Gruß und danke für evtl. nochmaliges nachschauen.
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
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> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Mit verzweifelten Grüßen
>
Gruss
MathePower
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