DGL 3. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 So 24.06.2007 | | Autor: | MrFroggy |
| Aufgabe | 6.) Der Kreis in der Ebene [mm]\IR^2[/mm] vom Radius r>0 mit dem Mittelpunkt [mm](a,b) \in \IR^2[/mm] ist durch die Gleichung
(*) [mm](x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2[/mm]
gegeben. Somit bilden die Kreise der Ebene eine von den 3 Parametern a,b,r abhängige Kurvenschar.
a) Gib eine gewöhnliche DGL 3. Ordnung
(2*) [mm] y''' = F(x, y, y', y'')[/mm]
an, die diese Kurvenschar (*) als allgemeine Lösung hat. (Hinweis: Differenziere (*) 3-mal nach x und eliminiere die Parameter a,b,r aus den so entstehenden Gleichungen.)
b) Durch Auflösen von (*) nach y erhält man die beiden Lösungen [mm]y_+[/mm] und [mm]y_-[/mm] mit
[mm] y_{\pm}(x) = b \pm \wurzel{r^2 - (x-a)^2}[/mm]
Zeige, daß [mm]y_+[/mm] und [mm]y_-[/mm] Lösungen der unter a) gefundenen DGL (2*) ist.
c) Stelle die zur gew. DGL (2*) äquivalente DGL 1. Ordnung auf. |
Hi!
an der Aufgabe hier knacke ich schon eine Weile herum, würde mich super freuen, wenn jemand einsteigt. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu a) habe ich glaube ich bereits eine Lösung, wär nett, wenn jemand das nachrechnet:
(*) 1mal diff. => (2*) [mm]0=2(x-a) + 2y'(y-b) = 2(x-a) + 2yy'-2by'[/mm]
(2*) diff. => 3(*) [mm]0=2 + 2yy'' + 2y'^2 - 2by''[/mm]
(3*) diff. => 4(*) [mm]0=2y'y'' + 2yy''' + 2y'y'' + 2y'y'' - 2by'''
\Rightarrow y''' = \frac{6y'y''}{2b-2y}[/mm] (5*)
dann setze ich (3*)[mm] * \frac{1}{y''}[/mm] und setze in (5*) ein
und bekomme [mm]y''' = \frac{3y'y''^2}{1+y'^2} = F(x,y,y',y'')[/mm]
Habe ich alles richtig gemacht? Bin mir echt unsicher  .
Sitze gerade noch an b) und c), da weiß ich irgendwie noch nicht weiter. Müsste ich dann für b) das [mm] y_{\pm} [/mm] dreimal differenzieren und einsetzen, oder wie zeige ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 So 24.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Froggy
> 6.) Der Kreis in der Ebene [mm]\IR^2[/mm] vom Radius r>0 mit dem
> Mittelpunkt [mm](a,b) \in \IR^2[/mm] ist durch die Gleichung
> (*) [mm](x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2[/mm]
> gegeben. Somit bilden die
> Kreise der Ebene eine von den 3 Parametern a,b,r abhängige
> Kurvenschar.
> a) Gib eine gewöhnliche DGL 3. Ordnung
> (2*) [mm]y''' = F(x, y, y', y'')[/mm]
> an, die diese Kurvenschar
> (*) als allgemeine Lösung hat. (Hinweis: Differenziere (*)
> 3-mal nach x und eliminiere die Parameter a,b,r aus den so
> entstehenden Gleichungen.)
> b) Durch Auflösen von (*) nach y erhält man die beiden
> Lösungen [mm]y_+[/mm] und [mm]y_-[/mm] mit
> [mm]y_{\pm}(x) = b \pm \wurzel{r^2 - (x-a)^2}[/mm]
> Zeige, daß [mm]y_+[/mm]
> und [mm]y_-[/mm] Lösungen der unter a) gefundenen DGL (2*) ist.
> c) Stelle die zur gew. DGL (2*) äquivalente DGL 1. Ordnung
> auf.
> Hi!
>
> an der Aufgabe hier knacke ich schon eine Weile herum,
> würde mich super freuen, wenn jemand einsteigt. Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> zu a) habe ich glaube ich bereits eine Lösung, wär nett,
> wenn jemand das nachrechnet:
>
> (*) 1mal diff. => (2*) [mm]0=2(x-a) + 2y'(y-b) = 2(x-a) + 2yy'-2by'[/mm]
>
> (2*) diff. => 3(*) [mm]0=2 + 2yy'' + 2y'^2 - 2by''[/mm]
> (3*) diff.
> => 4(*) [mm]0=2y'y'' + 2yy''' + 2y'y'' + 2y'y'' - 2by'''[/mm]
bis hierhin hab ichs auch.
dann hab ich 2* und 3* durch 2 gekürzt, 2*) *y''' 3*) *y''
und subtrahiert, um b zu eliminieren. (beide Gl subtrahieren
dann komm ich auf y'''-y'y''^2=0
Deinen weg kann ich nicht nachvollziehen.
jetzt musst du wirklich die y_+ und y_- einfach ableiten, und einsetzen obs Lösungen sind.
zu c) setze y1=y
y2=y'
y3=y''
und du hast ein gekoppeltes System von 3 Dgl erster Ordnung.
Gruss leduart
[mm] \Rightarrow [/mm] y''' = [mm] \frac{6y'y''}{2b-2y}[/mm] [/mm]
> (5*)
>
> dann setze ich (3*)[mm] * \frac{1}{y''}[/mm] und setze in (5*) ein
> und bekomme [mm]y''' = \frac{3y'y''^2}{1+y'^2} = F(x,y,y',y'')[/mm]
>
> Habe ich alles richtig gemacht? Bin mir echt unsicher .
>
> Sitze gerade noch an b) und c), da weiß ich irgendwie noch
> nicht weiter. Müsste ich dann für b) das [mm]y_{\pm}[/mm] dreimal
> differenzieren und einsetzen, oder wie zeige ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Mo 25.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist auch primitiv:
[mm] y_1'=y_2
[/mm]
[mm] y_2'=y_3
[/mm]
[mm] y_3'=\bruch{3y_2y_3^2}{1+y_1^2}
[/mm]
falls wie du ja nachgeprüft hast deine Gl. richtig ist.
Tut mir leid, dass ich dir ein falsches Ergebnis gepostet hab.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:31 Mo 25.06.2007 | | Autor: | MrFroggy |
danke, du hast mir sehr geholfen
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