DGL AWP mit Laplace und Green < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:34 Sa 04.04.2009 | | Autor: | otava |
| Aufgabe | Betimmen Sie die Lösung für u(t)
u''(x)-u'(x)-2u(x)=4exp(3x), u(0)=u'(0)=0
1. Auf beliebigem Weg
2. Mit Green'scher Funktion |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Ansätze:
Mit Laplace
[mm] s^{2}F(s)-su(0)-u'(0)-sF(s)-u(0)-2F(s)=\bruch{4}{s}\bruch{1}{s-3} [/mm] rechte Seite mit Hilfe von Tabelle
[mm] \Rightarrow s^{2}F(s)-sF(s)-2F(s)=\bruch{4}{s^{2}-3s} [/mm]
[mm] \Rightarrow F(s)(s^{2}-s-2)=\bruch{4}{s^{2}-3s}
[/mm]
[mm] \Rightarrow F(s)=\bruch{4}{(s^{2}-3s)(s^{2}-s-2)}
[/mm]
Wie gehts nun weiter?
Nullstellen des Nenners und dann Partialbruchzerlegung?
Nullstellen sind hier -1,0,1,3 aber wie ging das noch...
Mit Green
[mm] s^{2}-s-2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow s_{1,2}=-1\pm\wurzel[]{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u(x)=k_{1}exp((s_{1})x)+k_{2}exp((s_{2})x)
[/mm]
Im nächsten Schritt muss ich nun die Koeffizienten [mm] k_{1,2} [/mm] bestimmen, doch wie geht das?
Mir ist klar das ich das über die AW's machen muss, aber ich hab leider noch keine Idee wie.
Sind die Ansätze korrekt wie geht es weiter?
Vielen Dank für Hilfe! Gruß, Otava
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 05.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein erstes Verfahren kenn ich nicht. Was ist denn jetzt die Loesung?
das zweite Verfahren hat so wie ich das sehe auch nix mit Green zu tun. Du loesest einfach die homogene Dgl allgemein, die inhomogene ist noch nicht geloest, deshalb kannst du auch noch keine Anfangsbed. einsetzen.
Wenn du die alg. Loesung der inh. gle hast , setzt du einfach die Anfangsbed. ein und bestimmst daraus k1 und k2.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:08 So 05.04.2009 | | Autor: | otava |
Hallo,
ach mensch da hab ich ja blödsinn geschrieben...
Du hast recht, das ist die allgemeine Lösung der DGL.
Die partikuläre Lösung ist -2exp(3x)
damit ist [mm] u(x)=k_{1}exp((-1+\wurzel[]{3})x)+k_{2}exp((-1-\wurzel[]{3})x)-2exp(3x)
[/mm]
Dann einfach die Gleichungen für die AW aufstellen und ich erhalte
[mm] k_{1}=\bruch{4}{\wurzel[]{3}}+1 [/mm]
[mm] k_{2}=-\bruch{4}{\wurzel[]{3}}+1
[/mm]
Die Anfangsbedingungen eingesetzt, bestätigen das Ergebnis.
Soweit die beliebige Weise...
Vorher habe ich es mit Laplace-Transformation versucht, da hab ich eine Tabelle gefunden mit der man das machen kann, aber so wars dann doch noch einfacher! Sollte aber auch funktionieren.
Zu Green muss ich mir noch mal ein paar Gedanken machen...
Ok, ich fange mal an.
[mm] u(x)=\integral_{a}^{x}{f(x-t)\lambda(t) dt}
[/mm]
wobei mein a=0 und mein [mm] \lambda(t)=4exp(3x) [/mm] ist.
[mm] u(x)=\integral_{0}^{x}{(\bruch{4}{\wurzel[]{3}}+1) exp(-1+\wurzel[]{3}) - (\bruch{4}{\wurzel[]{3}}+1) exp(-1-\wurzel[]{3}))4exp(3x) dt}
[/mm]
Das gelöst ist dann mein eindeutiges u(x) mit Green bestimmt?
Danke! Grüße, Otava
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 07.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 07.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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