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| Aufgabe | Gegeben seien folgende zwei AWA:
a) $u'(t) = [mm] [u(t)]^{1/4}$, $t\ge [/mm] 0$, $u(0) = 1$
b) $u'(t) = [mm] -\sin(t)*[u(t)]^{2}$, $t\ge [/mm] 0$, $u(0) = 1$
Man begründe, dass dies die einzigen Lösungen sind. Was passiert (mit der Eindeutigkeit), wenn $u(0) = 0$ die Anfangsbedingung ist? |
Hallo!
Ich würde gern eure Meinung zu meinen beiden fett markierten Fragen hören 
Mit Hilfe der Methode der Trennung der Variablen konnte ich jeweils Lösungen bestimmen:
Zu a): $u(t) = [mm] \Big(\frac{3}{4}*t+1\Big)^{4/3}$
[/mm]
Zu b): $u(t) = [mm] \frac{1}{2-\cos(t)}$
[/mm]
Bei der Methode der Trennung der Variablen musste ich immer annehmen, dass [mm] $u(t)\not= [/mm] 0$ für alle [mm] $t\ge [/mm] 0$ ist. Deswegen kann ich jetzt nicht behaupten, dass dies die einzigen (und damit eindeutigen) Lösungen sind.
Ich weiß, dass ich die Eindeutigkeit unter anderem mit der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von
a) $f(x,y) = [mm] y^{1/4}$ [/mm] (wobei y nicht bei 0 liegen darf) und
b) $f(x,y) = [mm] -\sin(x)*y^{2}$
[/mm]
und damit, dass die gefundenen Lösungen nicht in einem beschränkten Intervall unendlich groß werden, begründen kann (Folgt aus einem Satz des Skripts). Gibt es auch einen elementareren Weg dafür (denn evtl. liegt mir dieses Resultat noch nicht vor...) ?
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Wenn $u(0) = 0$ ist, erhalte ich
a) $u(t) = [mm] \Big(\frac{3}{4}*t\Big)^{4/3}$. [/mm] Allerdings kann jetzt auch die Nullfunktion $u(0) = 0$ eine Lösung sein. Ich habe also keine Eindeutigkeit mehr. Das Argument von oben über die Eindeutigkeit funktioniert nicht mehr, weil $f(x,y) = [mm] y^{1/4}$ [/mm] nicht in 0 lokal L-stetig ist.
b) Mit dem Verfahren der Trennung der Variablen erhalte ich keine Lösung (Ich muss ein Integral [mm] $\int_{0}^{u(t)}\frac{1}{z^{2}} [/mm] dz$ berechnen). Allerdings sehe ich, dass die Nullfunktion $u(t) = 0$ ein Lösung ist. Müsste diese nicht weiterhin eindeutige Lösung sein ($f(x,y) = [mm] -\sin(x)*y^{2}$ [/mm] ist ja überall lokal L-stetig...) ?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Gegeben seien folgende zwei AWA:
> a) [mm]u'(t) = [u(t)]^{1/4}[/mm], [mm]t\ge 0[/mm], [mm]u(0) = 1[/mm]
> b) [mm]u'(t) = -\sin(t)*[u(t)]^{2}[/mm],
> [mm]t\ge 0[/mm], [mm]u(0) = 1[/mm]
> Man begründe, dass dies die einzigen
> Lösungen sind. Was passiert (mit der Eindeutigkeit), wenn
> [mm]u(0) = 0[/mm] die Anfangsbedingung ist?
> Hallo!
>
> Ich würde gern eure Meinung zu meinen beiden fett
> markierten Fragen hören
> Mit Hilfe der Methode der Trennung der Variablen konnte
> ich jeweils Lösungen bestimmen:
>
> Zu a): [mm]u(t) = \Big(\frac{3}{4}*t+1\Big)^{4/3}[/mm]
>
> Zu b): [mm]u(t) = \frac{1}{2-\cos(t)}[/mm]
>
> Bei der Methode der Trennung der Variablen musste ich immer
> annehmen, dass [mm]u(t)\not= 0[/mm] für alle [mm]t\ge 0[/mm] ist. Deswegen
> kann ich jetzt nicht behaupten, dass dies die einzigen (und
> damit eindeutigen) Lösungen sind.
>
> Ich weiß, dass ich die Eindeutigkeit unter anderem mit der
> lokalen Lipschitz-Stetigkeit von
> a) [mm]f(x,y) = y^{1/4}[/mm] (wobei y nicht bei 0 liegen darf) und
> b) [mm]f(x,y) = -\sin(x)*y^{2}[/mm]
> und damit, dass die gefundenen
> Lösungen nicht in einem beschränkten Intervall unendlich
> groß werden, begründen kann (Folgt aus einem Satz des
> Skripts). Gibt es auch einen elementareren Weg dafür (denn
> evtl. liegt mir dieses Resultat noch nicht vor...) ?
>
Durch Trennung der Variablen und anschließender Integration
erhält man zunächst
[mm]\bruch{4}{3}*\wurzel[4]{u^{3}}=t+C[/mm]
Da die linke Seite stets größer oder gleich Null ist,
erhält man hier Lösungen für [mm]t \in \left]-C, \infty\right[[/mm]
Die Bedingung [mm]t \ge 0[/mm] impliziert [mm]C \le 0[/mm].
Das Intervall ist hier für C < 0 eingeschränkt,
somit kann die Anfangsbedingung nicht erfüllt werden.
Daraus ergibt sich, daß Lösungen für [mm]t \in \left[0, \infty\right[[/mm]
nur existieren, wenn [mm] C \ge [/mm] 0 ist.
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> Wenn [mm]u(0) = 0[/mm] ist, erhalte ich
>
> a) [mm]u(t) = \Big(\frac{3}{4}*t\Big)^{4/3}[/mm]. Allerdings kann
> jetzt auch die Nullfunktion [mm]u(0) = 0[/mm] eine Lösung sein. Ich
> habe also keine Eindeutigkeit mehr. Das Argument von oben
> über die Eindeutigkeit funktioniert nicht mehr, weil
> [mm]f(x,y) = y^{1/4}[/mm] nicht in 0 lokal L-stetig ist.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 24.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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