DGL Geschwindig Zeit Gesetz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Folgende Aufgabenstellung:
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einer beschleunigten Masse unter Berücksichtigung der Reibung.
Die Bewegung einer Masse, die durch einen konstante Kraft beschleunigt wird und einer der Geschwindigkeit v proportionalen Reibungskraft unterliegt, genüge der folgenden Dgl:
10 * [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] + v = 40 mit v(0) = 10
Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v = v(t) ?
Welche Endgeschwindigkeit [mm] v_{e} [/mm] erreicht die Masse!
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Ich weiß auch nicht, bei den Textaufgaben, brennen mir immer die Sicherungen durch! :-(
Wie löse ich die vorgegebene Gleichung richtig auf?
10 * [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] + v = 40
Das + v stört mich!?
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> Folgende Aufgabenstellung:
>
> Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einer beschleunigten Masse
> unter Berücksichtigung der Reibung.
>
> Die Bewegung einer Masse, die durch einen konstante Kraft
> beschleunigt wird und einer der Geschwindigkeit v
> proportionalen Reibungskraft unterliegt, genüge der
> folgenden Dgl:
>
> 10 * [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] + v = 40 mit v(0) = 10
>
> Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v = v(t) ?
>
> Welche Endgeschwindigkeit [mm]v_{e}[/mm] erreicht die Masse!
> ....
> Wie löse ich die vorgegebene Gleichung richtig auf?
>
> 10 * [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] + v = 40
>
> Das + v stört mich!
Naja, das ist der beschleunigten Masse wohl einerlei ...
Man hat hier eben eine typische DGL, in welcher
ausser der Ableitung auch die gesuchte Funktion v(t)
auftreten kann. Wenn es dir besser behagt, kannst
du ja mal nach der Ableitung auflösen, dann sieht
es so aus:
[mm] $\bruch{dv(t)}{dt}\ [/mm] =\ [mm] 4-\frac{1}{10}\,v(t)$
[/mm]
Ein Tipp wäre, es zuerst einmal mit der homogenen
DGL zu versuchen, also
$\ 10 [mm] *\bruch{dv}{dt}+ [/mm] v\ =\ 0$
bzw.
$\ [mm] \bruch{dv(t)}{dt}\ [/mm] =\ [mm] -\frac{1}{10}\,v(t)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
mmh... stört mich der 40 so auf der rechten seite? Könnte ich nicht 40 / 10 rechnen und dann minus v?
Oder ist das wirklich mein Störglied bzw. warum?
Wenn ich das mit dem homogenen Teil mache dann fange ich ja so an, oder?
1. Schritt: homogene Teil
10 * [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] + v = 0
[mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] = [mm] -\bruch{v}{10}
[/mm]
ln |v| = -10 * t + c
ln |y| = ln [mm] |e^{10 * t}| [/mm] + ln |c|
y = [mm] e^{10*t} [/mm] * c
Ist das ok?
Und wenn ja, wie bitte weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ok, danke, dass mit y war ein schreibfehler!
So also nochmals:
[mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] = [mm] -\bruch{v}{10}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{dv}dv} [/mm] = - [mm] \integral{\bruch{1}{10}dt}
[/mm]
ln |v| = ...
wie integriere ich die rechte seite, richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Do 19.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Andi,
> Ok, danke, dass mit y war ein schreibfehler!
>
> So also nochmals:
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] = [mm]-\bruch{v}{10}[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{v}dv}[/mm] = - [mm]\integral{\bruch{1}{10}dt}[/mm]
>
> ln |v| = ...
>
> wie integriere ich die rechte seite, richtig?
[mm] -\integral{\bruch{1}{10}\ dt}=-\bruch{1}{10}*\integral{\red{1}\ dt}
[/mm]
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Stimmt, ich .... !
Ich kann ja das 1/10 rausziehen!
Das heisst dann weiter:
ln|v| = [mm] -\bruch{1}{10} [/mm] t + c
Wie bekomme ich hier die ln weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 19.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Stimmt, ich .... !
>
> Ich kann ja das 1/10 rausziehen!
Du solltest vielleicht mal eine Pause oder was anderes zwischendurch machen 
> Das heisst dann weiter:
>
> ln|v| = [mm]-\bruch{1}{10}[/mm] t + c
>
> Wie bekomme ich hier die ln weg?
durch die Exponentialfunktion [mm] e^{trallala}
[/mm]
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Kann ich das so machen?
[mm] e^{ln|v|} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{10}*t} [/mm] + [mm] e^{c}
[/mm]
v = [mm] e^{-\bruch{1}{10}*t} [/mm] + [mm] e^{c}
[/mm]
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 19.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
> [mm]e^{ln|v|}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{1}{10}*t}[/mm] + [mm]e^{c}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst auf der rechten Seite der gleichung auf die gesamte Seite die e-funktion anwenden und nicht nur summandenweise:
[mm] $$e^{\ln|v|} [/mm] \ = \ [mm] e^{-\bruch{1}{10}*t+c}$$
[/mm]
$$v \ = \ [mm] e^c*e^{-\bruch{1}{10}*t}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke!
Also wend ich die e funktion immer so an?
Oder ist das nur bei Summanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Do 19.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Danke!
>
> Also wend ich die e funktion immer so an?
>
> Oder ist das nur bei Summanden?
das ist immer so. Wenn a=b+c ist, dann ist:
[mm] e^{a}=e^{b+c}=e^{b}*e^{c}
[/mm]
Lg
Herby
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
