DGL, Integrationsproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung.
y'+y = [mm] y^3*sin(x) [/mm] |
Guten Abend,
ich sitze gerade an einer DGL, wobei das eigentliche Problem grade das Integrieren Selbiger ist.
y und y' hab ich bereits mit z und z' substituiert und die homogene DGL für z mit [mm] z_h [/mm] = e^2x * C.
Die inhomogene DGL für z bereitet mir jetzt Probleme.
Ich möchte C'(x) = [mm] \bruch{-2sin(x)}{e^{2x}} [/mm] integrieren und dachte, dass hier partielle Integration sinnvoll wäre.
Also hier mein Vorgehen:
C(x) = [mm] -2*\integral{\bruch{sin(x)}{e^{2x}}dx} [/mm] = [mm] \bruch{2cos(x)}{e^{2x}}+\integral{\bruch{cos(x)}{e^{2x}}dx} [/mm] =
[mm] \bruch{2cos(x)}{e^{2x}}+\bruch{sin(x)}{e^{2x}}+\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{sin(x)}{e^{2x}}dx}
[/mm]
Wenn ich jetzt das [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{sin(x)}{e^2x}dx} [/mm] vom linken Integral abziehe und dann den auf der rechten Seite verbleibenden Teil durch den Faktor vor dem linken Integral teile bekomme ich als Ergebenis:
[mm] \bruch{-4cos(x)}{5e^{2x}}-\bruch{2sin(x)}{5e^{2x}}.
[/mm]
Das Ergebnis sollte aber laut ML sein:
[mm] \bruch{4cos(x)}{5e^{2x}}+\bruch{2sin(x)}{5e^{2x}}+c
[/mm]
Ich suche schon seit einiger Zeit den Fehler, aber ich finde ihn einfach nicht.
Würde mich sehr freuen, falls mir jemand hier einen Schubs in die richtige Richtung geben kann.
Ausserdem entschuldige ich mich für die schlechte Rechtschreibung und miserable Zeichensetzung, aber es ist spät, also wird man mir hoffentlich verzeiehen.
Mfg
KR
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Hallo KR,
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> y'+y = [mm]y^3*sin(x)[/mm]
> Guten Abend,
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> ich sitze gerade an einer DGL, wobei das eigentliche
> Problem grade das Integrieren Selbiger ist.
>
> y und y' hab ich bereits mit z und z' substituiert und die
> homogene DGL für z mit [mm]z_h[/mm] = e^2x * C.
Zeige bitte direkt, wie dein Vorgehen war.
[mm] z_h(x)=C(1)e^{2x} [/mm] ist übrigens korrekt.
Für die inhomogene Lösung würde ich dir auch allgemein den Ansatz [mm] y(x)=A*\sin(x)+B*\cos(x) [/mm] empfehlen.
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> Die inhomogene DGL für z bereitet mir jetzt Probleme.
> Ich möchte C'(x) = [mm]\bruch{-2sin(x)}{e^2x}[/mm] integrieren und
> dachte, dass hier partielle Integration sinnvoll wäre.
> Also hier mein Vorgehen:
>
> C(x) = [mm]-2*\integral{\bruch{sin(x)}{e^2x}dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2cos(x)}{e^2x}+\integral{\bruch{cos(x)}{e^2x}dx}[/mm] =
>
> [mm]\bruch{2cos(x)}{e^2x}+\bruch{sin(x)}{e^2x}+\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{sin(x)}{e^2x}dx}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt das
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{sin(x)}{e^2x}dx}[/mm] vom linken
> Integral abziehe und dann den auf der rechten Seite
> verbleibenden Teil durch den Faktor vor dem linken Integral
> teile bekomme ich als Ergebenis:
>
> [mm]\bruch{-4cos(x)}{5e^2x}-\bruch{2sin(x)}{5e^2x}.[/mm]
>
> Das Ergebnis sollte aber laut ML sein:
>
> [mm]\bruch{4cos(x)}{5e^2x}+\bruch{2sin(x)}{5e^2x}+c[/mm]
Bist du dir hier sicher?! Ich habe dies mal in die DGL eingesetzt und erhalte nicht das gewünschte Ergebnis. Der Grund ist wohl auch, dass die Variable x noch mit in den Exponenten gehört. Mache dazu alles, was in den Expoenten kommt in geschweifte Klammern. So wird es dann schon besser.
>
> Ich suche schon seit einiger Zeit den Fehler, aber ich
> finde ihn einfach nicht.
>
> Würde mich sehr freuen, falls mir jemand hier einen Schubs
> in die richtige Richtung geben kann.
> Ausserdem entschuldige ich mich für die schlechte
> Rechtschreibung und miserable Zeichensetzung, aber es ist
> spät, also wird man mir hoffentlich verzeiehen.
>
> Mfg
>
> KR
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Also mein genaues Vorgehen war das Folgende:
Da es eine Bernoullische Differentialgleichung mit n=3 ist habe ich wie folgt substituiert.
[mm] z=\bruch{1}{y^2} [/mm] und [mm] z'=(1-3)*\bruch{y'}{y^4}
[/mm]
Dann habe ich y auf die rechte Seite der Gleichung y'+y = [mm] y^3 [/mm] *sin(x) gebracht und durch [mm] y^3 [/mm] dividiert, was zu [mm] \bruch{y'}{y^3}=sin(x)-\bruch{y}{y^3} [/mm] führt.
Durch das Einsetzen von z und z' ergibt sich dann
[mm] \bruch{z'}{1-3} [/mm] = sin(x)-z [mm] \gdw [/mm] z'=2z-2sin(x).
Um die homogene DGL zu erhalten hab ich dann z'=2z gesetzt, integriert und kam so auf ln |z| = 2x+c [mm] \gdw [/mm] z = [mm] e^{2x} [/mm] +C , mit C = [mm] e^c.
[/mm]
Wegen den geschweiften Klammern Entschuldigung, ja das soll natürlich mit in den Exponenten.
> Für die inhomogene Lösung würde ich dir auch allgemein
> den Ansatz [mm]y(x)=A*\sin(x)+B*\cos(x)[/mm] empfehlen.
> >
Ich bin noch nicht so fitt was DGL angeht kannst du mir kurz nen Stichwort dazu geben, wie du auf den Ansatz kommst?
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Hallo KR,
> Also mein genaues Vorgehen war das Folgende:
>
> Da es eine Bernoullische Differentialgleichung mit n=3 ist
> habe ich wie folgt substituiert.
> [mm]z=\bruch{1}{y^2}[/mm] und [mm]z'=(1-3)*\bruch{y'}{y^\red{4}}[/mm]
Die 4 sollte wohl eine 3 sein.
>
> Dann habe ich y auf die rechte Seite der Gleichung y'+y =
> [mm]y^3[/mm] *sin(x) gebracht und durch [mm]y^3[/mm] dividiert, was zu
> [mm]\bruch{y'}{y^3}=sin(x)-\bruch{y}{y^3}[/mm] führt.
>
> Durch das Einsetzen von z und z' ergibt sich dann
>
> [mm]\bruch{z'}{1-3}[/mm] = sin(x)-z [mm]\gdw[/mm] z'=2z-2sin(x).
>
> Um die homogene DGL zu erhalten hab ich dann z'=2z gesetzt,
> integriert und kam so auf ln |z| = 2x+c [mm]\gdw[/mm] z = [mm]e^{2x}[/mm] +C
> , mit C = [mm]e^c.[/mm]
Das ist ok, soweit.
Halten wir also noch einmal fest, dass [mm] z_{h}=C_1e^{2x} [/mm] ist.
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> Wegen den geschweiften Klammern Entschuldigung, ja das soll
> natürlich mit in den Exponenten.
Kein Problem, führt aber eben, wie du gesehen hast, zu Missverständnissen.
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> > Für die inhomogene Lösung würde ich dir auch allgemein
> > den Ansatz [mm]y(x)=A*\sin(x)+B*\cos(x)[/mm] empfehlen.
Dies ist ein typischer Ansatz. Wäre das Störglied ein Polynom vom Grade n, dann würde man einen polynomialen Ansatz ebenso vom Grade n machen.
Bsp.: Das Störglied wäre [mm] s(x)=x^3+2x, [/mm] dann würde man den allgemeinen Ansatz: [mm] y(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D [/mm] wählen.
Nun gibt es ebenb weitere Ansätze: exponentiellen und der trigonometrische sind die wichtigsten.
Dein Job ist es im Prinzip [mm] z(x)=A\sin(x)+B\cos(x) [/mm] in die DGL [mm] z'(x)-2z(x)=2\sin(x) [/mm] einzusetzen und die Koeffizienten A und B zu bestimmen.
Damit haben wir denn eine inhomogene Lösung, sodass wir die allgemeine Lösung aufschreiben können.
Und da [mm] y=\pm\frac{1}{\sqrt{z}} [/mm] ist, erhalten wir dann so die Lösung für die Ausgangs-DGL.
> > >
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> Ich bin noch nicht so fitt was DGL angeht kannst du mir
> kurz nen Stichwort dazu geben, wie du auf den Ansatz
> kommst?
>
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Ok, ich muss zugeben das noch nicht umsetzbar verstanden zu haben aber die Erkenntnis kommt evtl. noch im Schlaf heute.
Noch einmal zurück zu dem zu integrierenden Integral von vorhin.
Ich hab das ganze mal bei Wolfram Alpha eingegeben und dort wurde die ML bestätigt, also wo liegt genau mein Fehler beim Integrieren?
Ich hab doch eigentlich keine andere Möglichkeit, als über partielle Integration zu versuchen ans Ziel zu kommen oder liege ich da falsch?
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Donnerwetter KR, und damit guten Morgen,
gestern Abend, als ich dann im Bett lag, ging mir dieser Thread nicht mehr aus dem Kopf und mir ist dann eingefallen, dass du mit deinem ersten Post, als du geschrieben hast : "Das Ergebnis sollte aber laut ML sein" das Zwischenergebnis für z(x) meintest. Denn die richtige Lösung für y(x) ist das natürlich nicht. Von daher habe ich nachgefragt, ob das wirklich das Ergebnis sei. Daher ein wirklich gut gemeinter Hinweis: Schreibe deutlicher, was das für Ergebnisse sind. In diesem Falle wäre es einfach zu schreiben: z(x)=...
Da weiß man sofort, was Sache ist.
Nun zu der Frage:
Berechnen willst du [mm] \int-\frac{2\sin(x)}{e^{2x}}dx
[/mm]
Tun wir das mal gemeinsam:
[mm] \int-\frac{2\sin(x)}{e^{2x}}dx=-2\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx
[/mm]
[mm] =-2\left( \frac{-\cos(x)}{e^{2x}} -\int-2\frac{-\cos(x)}{e^{2x}}dx\right)
[/mm]
[mm] =2\left( \frac{\cos(x)}{e^{2x}} +\int 2\frac{\cos(x)}{e^{2x}}dx\right)
[/mm]
[mm] =2\left( \frac{\cos(x)}{e^{2x}} +2\left( \frac{\sin(x)}{e^{2x}}-\int-2\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx \right)\right)
[/mm]
[mm] =\frac{2\cos(x)}{e^{2x}}+\frac{4\sin(x)}{e^{2x}}-4\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx
[/mm]
So und just in diesem Moment fangen wir uns an zu freuen, denn wir sehen, dass wir durch addieren des Terms [mm] 4\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx [/mm] und anschließendes divideren durch den Faktor 5 das gewünschte Ergebnis erhalten.
Folgendes ist vermitlich dein Fehler gewesen: Ein simpler Vorzeichenfehler. Klammern eventll. nicht beachtet?
Nun noch ein bisschen Theorie bzgl den Ansätzen:
Nehmen wir uns eine DGL 2. Ordnung der Form
$y''(x)+y'(x)+y(x)=s(x)$
Ist [mm] s(x)\equiv0, [/mm] dann haben wir den homogenen Fall vorliegen. Diese Art ist natürlich relativ einfach zu lösen.
Gilt dies jedoch nicht, dann kann es sehr schwer sein mittels Variation der Konstanten eine Lösung zu finden, weshalb man sich meist einem gewissen Ansatz bedient.
Folgende Ansätze sind sehr wichtig und sollte man durchaus mal im Hinterköpfchen behalten:
![[]](/images/popup.gif) http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html
(Man findet weiter unten eine kleine Tabelle)
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Guten Morgen,
erst einmal Vielen Dank für die Mühe, die du aufgebracht hast um mir zu helfen, und Entschuldigung, wenn ich mich zu undeutlich ausgedrück habe.
Aber was mir hier nicht ganz klar ist, wenn ich den Term [mm] 4\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx [/mm] zu dem Term [mm] -2\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx [/mm] addierst bleibt dann nicht einfach [mm] 2\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx [/mm] über?
In diesen Fall müsste man doch durch 2 dividieren und käme nicht auf das gewünschte Ergebnis?
Um auf das richtige Ergebnis zu kommen brauche ich doch auf der linken Seite der Gleichung den Term [mm] 5\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx, [/mm] was wenn ich einen Term mit [mm] -2\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx [/mm] addieren möchte auf der rechten Seite den Term [mm] -7\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx [/mm] vorraussetzt oder irre ich mich da?
Ich nehme an ich steh enorm auf dem Schlauch und beachte etwas ganz grundlegendes nicht, aber dennoch würd ich gern verstehen wo mein Fehler liegt.
Mfg
KR
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Hallo KR,
ich frage mich gerade, was ich heute für eine Grütze fabriziere. Mir ist noch ein kleiner Vorzeichenfehler unterlaufen, ich poste noch einmal die Rechnung:
[mm] \int-\frac{2\sin(x)}{e^{2x}}dx=-2\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx
[/mm]
[mm] =-2\left( \frac{-\cos(x)}{e^{2x}} -\int-2\frac{-\cos(x)}{e^{2x}}dx\right)
[/mm]
[mm] =2\left( \frac{\cos(x)}{e^{2x}} +\int 2\frac{\cos(x)}{e^{2x}}dx\right)
[/mm]
[mm] =2\left( \frac{\cos(x)}{e^{2x}} +2\left( \frac{\sin(x)}{e^{2x}}-\int-2\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx \right)\right)
[/mm]
[mm] =\frac{2\cos(x)}{e^{2x}}+\frac{4\sin(x)}{e^{2x}}\red{+8}\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx
[/mm]
So, ich mache jetzt mal weiter in der Rechnung:
[mm] \int-\frac{2\sin(x)}{e^{2x}}dx=\frac{2\cos(x)}{e^{2x}}+\frac{4\sin(x)}{e^{2x}}\red{+8}\int\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx
[/mm]
Wir formen die rechte Seite gleich noch ein bisschen um
[mm] \int-\frac{2\sin(x)}{e^{2x}}dx=\frac{2\cos(x)}{e^{2x}}+\frac{4\sin(x)}{e^{2x}}-4\int-2\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx
[/mm]
Wir rechnen beiderseits [mm] +4\int-2\frac{\sin(x)}{e^{2x}}dx [/mm] und erhalten
[mm] 5\int-\frac{2\sin(x)}{e^{2x}}dx=\frac{2\cos(x)}{e^{2x}}+\frac{4\sin(x)}{e^{2x}}
[/mm]
Wir teilen durch 5:
[mm] \int-\frac{2\sin(x)}{e^{2x}}dx=\frac{2\cos(x)}{5e^{2x}}+\frac{4\sin(x)}{5e^{2x}}
[/mm]
Und damit haben wir die Lösung.
Ich bitte um Entschuldigung, dass mir oben der Fehler unterlaufen ist.
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Hey,
also nochmal Danke jetzt ist der Groschen auch bei mir gefallen.
Jetzt kann ich auch endlich weitermachen und muss nicht ständig über die Aufgabe nachgrübeln.
Cool, dass du dir da so die Mühe gemacht hast hat mir in jedem Fall geholfen.
Mfg
KR
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo KR,
> Hey,
>
> also nochmal Danke jetzt ist der Groschen auch bei mir
> gefallen.
Das ist super. Das freut mich.
> Jetzt kann ich auch endlich weitermachen und muss nicht
> ständig über die Aufgabe nachgrübeln.
> Cool, dass du dir da so die Mühe gemacht hast hat mir in
> jedem Fall geholfen.
Dazu ist das Forum da. Und ich helfe gerne, ärgere mich nur, wenn dann solche kleinen dummen Fehler passieren. Aber das geht wohl jedem so.
>
> Mfg
>
> KR
Noch als kleine Anmerkung: Rechne doch mal als Übung die Aufgabe mit dem speziellen Ansatz durch. Dann wirst du sehen, dass das wirklich fix geht. Man müsste nur ein kleine LGS lösen, um die Koeffizientne A und B herauszufinden. Aber das sollte alles machbar sein. Ich denke mit obigen Ansatz spart man etwas Zeit und vor allem muss man sich nicht mit partieller Integration oder sowas rumschlagen.
Also vllt. als Übung ist das noch einmal gut. Falls du es durchrechnest, und du hast Fragen, dann kannst du sie hier ja stellen, aber eigentlich ist das recht "einfach".
Schönes Wochenende!
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