DGL Lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie Lösungen zu folgenden Differentialgleichungen:
a) [mm] $x'(t)=\frac{\sin{(t)}}{\cos{(x(t))}}, [/mm] x(0)=1,$
b) [mm] $x'(t)=(t-x(t)+3)^2 [/mm] , x(0)=1$
c) [mm] $x'(t)+\frac{x(t)}{1+t} +(1+t)(x(t))^4=0, [/mm] x(0)=-1$
d) [mm] $x'(t)=(1-t)(x(t))^2+(2t-1)x(t)-t, [/mm] x(0)=0$ |
Guten Abend,
ich muss diese Aufgabe lösen und stehe etwas auf dem Schlauch.
Also die a) war kein Problem.
Einfach durch Trennung der Variablen, so erhalte ich:
[mm] $x(t)=\arcsin(1+\sin(1)-\cos(t))$
[/mm]
Jedoch habe ich bei den restlichen ein wenig Probleme.
Kann mir hier vielleicht jemand etwas auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank
Dudi
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Hallo DudiPupan,
> Bestimmen Sie Lösungen zu folgenden
> Differentialgleichungen:
> a) [mm]x'(t)=\frac{\sin{(t)}}{\cos{(x(t))}}, x(0)=1,[/mm]
> b)
> [mm]x'(t)=(t-x(t)+3)^2 , x(0)=1[/mm]
> c) [mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t} +(1+t)(x(t))^4=0, x(0)=-1[/mm]
>
> d) [mm]x'(t)=(1-t)(x(t))^2+(2t-1)x(t)-t, x(0)=0[/mm]
> Guten Abend,
> ich muss diese Aufgabe lösen und stehe etwas auf dem
> Schlauch.
>
> Also die a) war kein Problem.
> Einfach durch Trennung der Variablen, so erhalte ich:
> [mm]x(t)=\arcsin(1+\sin(1)-\cos(t))[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jedoch habe ich bei den restlichen ein wenig Probleme.
>
> Kann mir hier vielleicht jemand etwas auf die Sprünge
> helfen?
>
Bei Aufgabe b) setze
[mm]u\left(t\right)=t-x\left(t\right)+3[/mm]
> Vielen Dank
> Dudi
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die Antwort.
Hat mir weiter geholfen:
[mm] $u(t):=(t-x(t)+3)\gdw [/mm] x(t)=t+3-u(t)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x'(t)=1-u'(t)$
Eingesetzt:
[mm] $1-u'(t)=(u(t))^2$
[/mm]
Hier hänge ich jedoch wieder.
Wie kann ich das lösen?
Vielen Dank
Dudi
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Hallo DudiPupan,
> Vielen Dank für die Antwort.
> Hat mir weiter geholfen:
>
> [mm]u(t):=(t-x(t)+3)\gdw x(t)=t+3-u(t)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x'(t)=1-u'(t)[/mm]
>
> Eingesetzt:
> [mm]1-u'(t)=(u(t))^2[/mm]
> Hier hänge ich jedoch wieder.
> Wie kann ich das lösen?
>
Sorge zunächst, daß u' alleine steht,
dann kannst Du Trennung der Variablen anwenden.
> Vielen Dank
>
> Dudi
Gruss
MathePower
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> Hallo DudiPupan,
>
> > Vielen Dank für die Antwort.
> > Hat mir weiter geholfen:
> >
> > [mm]u(t):=(t-x(t)+3)\gdw x(t)=t+3-u(t)[/mm]
> > [mm]\Rightarrow x'(t)=1-u'(t)[/mm]
>
> >
> > Eingesetzt:
> > [mm]1-u'(t)=(u(t))^2[/mm]
> > Hier hänge ich jedoch wieder.
> > Wie kann ich das lösen?
> >
>
>
> Sorge zunächst, daß u' alleine steht,
> dann kannst Du Trennung der Variablen anwenden.
Ja, das habe ich mir auch überlegt:
[mm] $\frac{du}{dt}=1-u^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{du}{(1-u^2}=dt$
[/mm]
Aber hier wusste ich irgendwie nicht weiter.
[mm] $\Rightarrow \integral{\frac{1}{(1-u^2)}}=\integral{1*dt}$
[/mm]
Richtiger weg?
Vielen Dank
>
> > Vielen Dank
> >
> > Dudi
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DudiPupan,
> > Hallo DudiPupan,
> >
> > > Vielen Dank für die Antwort.
> > > Hat mir weiter geholfen:
> > >
> > > [mm]u(t):=(t-x(t)+3)\gdw x(t)=t+3-u(t)[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow x'(t)=1-u'(t)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Eingesetzt:
> > > [mm]1-u'(t)=(u(t))^2[/mm]
> > > Hier hänge ich jedoch wieder.
> > > Wie kann ich das lösen?
> > >
> >
> >
> > Sorge zunächst, daß u' alleine steht,
> > dann kannst Du Trennung der Variablen anwenden.
>
> Ja, das habe ich mir auch überlegt:
>
> [mm]\frac{du}{dt}=1-u^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{du}{(1-u^2}=dt[/mm]
> Aber hier wusste ich
> irgendwie nicht weiter.
>
> [mm]\Rightarrow \integral{\frac{1}{(1-u^2)}}=\integral{1*dt}[/mm]
>
> Richtiger weg?
>
Ja.
> Vielen Dank
> >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Dudi
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo DudiPupan,
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> > > Hallo DudiPupan,
> > >
> > > > Vielen Dank für die Antwort.
> > > > Hat mir weiter geholfen:
> > > >
> > > > [mm]u(t):=(t-x(t)+3)\gdw x(t)=t+3-u(t)[/mm]
> > > >
> [mm]\Rightarrow x'(t)=1-u'(t)[/mm]
> >
> > >
> > > >
> > > > Eingesetzt:
> > > > [mm]1-u'(t)=(u(t))^2[/mm]
> > > > Hier hänge ich jedoch wieder.
> > > > Wie kann ich das lösen?
> > > >
> > >
> > >
> > > Sorge zunächst, daß u' alleine steht,
> > > dann kannst Du Trennung der Variablen anwenden.
> >
> > Ja, das habe ich mir auch überlegt:
> >
> > [mm]\frac{du}{dt}=1-u^2[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \frac{du}{(1-u^2}=dt[/mm]
> > Aber hier wusste ich
> > irgendwie nicht weiter.
> >
> > [mm]\Rightarrow \integral{\frac{1}{(1-u^2)}}=\integral{1*dt}[/mm]
>
> >
> > Richtiger weg?
> >
>
>
> Ja
Okay, jetzt habe ich aber doch für $ [mm] \integral{\frac{1}{(1-u^2)}}$ [/mm] zwei verschiedene Lösungen?!
Einmal arctanh(u) für |u|<1 und arcoth(u) für |u|>1.
>
>
> > Vielen Dank
> > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > Dudi
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DudiPupan,
> > Hallo DudiPupan,
> >
> > > > Hallo DudiPupan,
> > > >
> > > > > Vielen Dank für die Antwort.
> > > > > Hat mir weiter geholfen:
> > > > >
> > > > > [mm]u(t):=(t-x(t)+3)\gdw x(t)=t+3-u(t)[/mm]
> > > > >
> > [mm]\Rightarrow x'(t)=1-u'(t)[/mm]
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Eingesetzt:
> > > > > [mm]1-u'(t)=(u(t))^2[/mm]
> > > > > Hier hänge ich jedoch wieder.
> > > > > Wie kann ich das lösen?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Sorge zunächst, daß u' alleine steht,
> > > > dann kannst Du Trennung der Variablen anwenden.
> > >
> > > Ja, das habe ich mir auch überlegt:
> > >
> > > [mm]\frac{du}{dt}=1-u^2[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow \frac{du}{(1-u^2}=dt[/mm]
> > > Aber hier
> wusste ich
> > > irgendwie nicht weiter.
> > >
> > > [mm]\Rightarrow \integral{\frac{1}{(1-u^2)}}=\integral{1*dt}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Richtiger weg?
> > >
> >
> >
> > Ja
>
> Okay, jetzt habe ich aber doch für
> [mm]\integral{\frac{1}{(1-u^2)}}[/mm] zwei verschiedene Lösungen?!
> Einmal arctanh(u) für |u|<1 und arcoth(u) für |u|>1.
>
Ja, das ist auch richtig,
Es gibt auch noch die trivialen Lösungen.
> >
> >
> > > Vielen Dank
> > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > > >
> > > > > Dudi
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo DudiPupan,
>
> > > Hallo DudiPupan,
> > >
> > > > > Hallo DudiPupan,
> > > > >
> > > > > > Vielen Dank für die Antwort.
> > > > > > Hat mir weiter geholfen:
> > > > > >
> > > > > > [mm]u(t):=(t-x(t)+3)\gdw x(t)=t+3-u(t)[/mm]
> > > > > >
>
> > > [mm]\Rightarrow x'(t)=1-u'(t)[/mm]
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Eingesetzt:
> > > > > > [mm]1-u'(t)=(u(t))^2[/mm]
> > > > > > Hier hänge ich jedoch wieder.
> > > > > > Wie kann ich das lösen?
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Sorge zunächst, daß u' alleine steht,
> > > > > dann kannst Du Trennung der Variablen
> anwenden.
> > > >
> > > > Ja, das habe ich mir auch überlegt:
> > > >
> > > > [mm]\frac{du}{dt}=1-u^2[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow \frac{du}{(1-u^2}=dt[/mm]
> > > > Aber hier
> > wusste ich
> > > > irgendwie nicht weiter.
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow \integral{\frac{1}{(1-u^2)}}=\integral{1*dt}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Richtiger weg?
> > > >
> > >
> > >
> > > Ja
> >
> > Okay, jetzt habe ich aber doch für
> > [mm]\integral{\frac{1}{(1-u^2)}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zwei verschiedene Lösungen?!
> > Einmal arctanh(u) für |u|<1 und arcoth(u) für |u|>1.
> >
>
>
> Ja, das ist auch richtig,
>
> Es gibt auch noch die trivialen Lösungen.
Meinst du $\frac{1}{2}\ln{\left( \frac{(1+u)}{(1-u)}\right) $ und $\frac{1}{2}\ln{\left( \frac{(u+1)}{(u-1)}\right)$???
>
>
> > >
> > >
> > > > Vielen Dank
> > > > >
> > > > > > Vielen Dank
> > > > > >
> > > > > > Dudi
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > >
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> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DudiPupan,
> > Hallo DudiPupan,
> >
> > > > Hallo DudiPupan,
> > > >
> > > > > > Hallo DudiPupan,
> > > > > >
> > > > > > > Vielen Dank für die Antwort.
> > > > > > > Hat mir weiter geholfen:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]u(t):=(t-x(t)+3)\gdw x(t)=t+3-u(t)[/mm]
> > > > >
> > >
> >
> > > > [mm]\Rightarrow x'(t)=1-u'(t)[/mm]
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Eingesetzt:
> > > > > > > [mm]1-u'(t)=(u(t))^2[/mm]
> > > > > > > Hier hänge ich jedoch wieder.
> > > > > > > Wie kann ich das lösen?
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Sorge zunächst, daß u' alleine steht,
> > > > > > dann kannst Du Trennung der Variablen
> > anwenden.
> > > > >
> > > > > Ja, das habe ich mir auch überlegt:
> > > > >
> > > > > [mm]\frac{du}{dt}=1-u^2[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]\Rightarrow \frac{du}{(1-u^2}=dt[/mm]
> > > > > Aber
> hier
> > > wusste ich
> > > > > irgendwie nicht weiter.
> > > > >
> > > > > [mm]\Rightarrow \integral{\frac{1}{(1-u^2)}}=\integral{1*dt}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Richtiger weg?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Ja
> > >
> > > Okay, jetzt habe ich aber doch für
> > > [mm]\integral{\frac{1}{(1-u^2)}}[/mm] zwei verschiedene Lösungen?!
> > > Einmal arctanh(u) für |u|<1 und arcoth(u) für
> |u|>1.
> > >
> >
> >
> > Ja, das ist auch richtig,
> >
> > Es gibt auch noch die trivialen Lösungen.
>
> Meinst du [mm]\frac{1}{2}\ln{\left( \frac{(1+u)}{(1-u)}\right)[/mm]
> und [mm]\frac{1}{2}\ln{\left( \frac{(u+1)}{(u-1)}\right)[/mm]???
Das sind die Lösungen die Du durch Trennung der Variablen bekommen hast.
Ich meine u=1 und u=-1 sind auch Lösungen der DGL.
> >
> >
> > > >
> > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > > > >
> > > > > > > Vielen Dank
> > > > > > >
> > > > > > > Dudi
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruss
> > > > > > MathePower
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo DudiPupan,
>
> Das sind die Lösungen die Du durch Trennung der Variablen
> bekommen hast.
>
> Ich meine u=1 und u=-1 sind auch Lösungen der DGL.
Warum das?
Das verstehe ich nicht ganz.
Edit:
Achso, natürlich...
Ja, u=-1, u=1 sind auch Lösungen, jetzt hab ich verstanden, wie du das meinst.
Aber wie arbeite ich denn jetzt hier mit diesen Ergebnissen weiter?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
>
>
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DudiPupan,
> > Hallo DudiPupan,
> >
> > Das sind die Lösungen die Du durch Trennung der Variablen
> > bekommen hast.
> >
> > Ich meine u=1 und u=-1 sind auch Lösungen der DGL.
>
> Warum das?
Du hast doch diese DGL erhalten:
[mm]1-u'=u^{2}[/mm]
Wenn u eine konstante Lösung ist, dann ist u'=0,
demnach muss gelten:
[mm]1=u^{2}[/mm]
Und daraus folgt u=1 oder u=-1.
> Das verstehe ich nicht ganz.
>
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
> Dudi
> >
> >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo DudiPupan,
>
>
>
> > > Hallo DudiPupan,
> > >
> > > Das sind die Lösungen die Du durch Trennung der Variablen
> > > bekommen hast.
> > >
> > > Ich meine u=1 und u=-1 sind auch Lösungen der DGL.
> >
> > Warum das?
>
>
> Du hast doch diese DGL erhalten:
>
> [mm]1-u'=u^{2}[/mm]
>
> Wenn u eine konstante Lösung ist, dann ist u'=0,
> demnach muss gelten:
>
> [mm]1=u^{2}[/mm]
>
> Und daraus folgt u=1 oder u=-1.
Ja, das ist logisch :)
Ist mir auch gerade aufgefallen :)
Dann habe ich jetzt als Lösungen:
[mm] $$u(t)=\begin{cases} 1 \\ -1 \\ \tanh(t), & \mbox{für } |u|<1 \\ coth(t), & \mbox{für } |u|>1 \end{cases}$$
[/mm]
Irgendwas kann da an meiner überlegung doch nicht stimmen...
>
>
> > Das verstehe ich nicht ganz.
> >
> > Vielen Dank
> > Liebe Grüße
> > Dudi
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Also ich hätte dann für die allgemeinen Lösungen der DGL:
i) [mm] $x_1(t)=t+2$
[/mm]
ii) [mm] $x_2(t)=t+4$
[/mm]
iii) [mm] $x_3(t)=t-\tanh(t+C)+3$
[/mm]
iv) [mm] $x_4(t)=t-\coth(t+C)+3$
[/mm]
Für i) und ii) gilt [mm] $x(0)\neq [/mm] 0$
Also bleiben noch iii) und iv):
Ich habe folgendes berechnet für x(0)=1:
[mm] $x(t)=t-\tanh(t+\arctanh(2))+3$
[/mm]
und:
[mm] $x(t)=t-\coth(t+arcoth(2))+3$
[/mm]
Warum habe ich hier nun 2 Lösungen?
Sind beide korrekt?
Vielen Dank
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn x(0)=1 also u(0)=2 dann ist doch |u|>1 also nur die eine Lösung für u und damit für x. bei u fehlt noch die Konstante.
Gruss leduart
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Hallo DudiPupan,
> Bestimmen Sie Lösungen zu folgenden
> Differentialgleichungen:
> a) [mm]x'(t)=\frac{\sin{(t)}}{\cos{(x(t))}}, x(0)=1,[/mm]
> b)
> [mm]x'(t)=(t-x(t)+3)^2 , x(0)=1[/mm]
> c) [mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t} +(1+t)(x(t))^4=0, x(0)=-1[/mm]
>
> d) [mm]x'(t)=(1-t)(x(t))^2+(2t-1)x(t)-t, x(0)=0[/mm]
> Guten Abend,
> ich muss diese Aufgabe lösen und stehe etwas auf dem
> Schlauch.
>
> Also die a) war kein Problem.
> Einfach durch Trennung der Variablen, so erhalte ich:
> [mm]x(t)=\arcsin(1+\sin(1)-\cos(t))[/mm]
>
> Jedoch habe ich bei den restlichen ein wenig Probleme.
>
> Kann mir hier vielleicht jemand etwas auf die Sprünge
> helfen?
>
Aufgabe c) ist eine ![[]](/images/popup.gif) Bernoullische DGL.
> Vielen Dank
> Dudi
Gruss
MathePower
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So, zur c) habe ich nun folgendes:
Wir haben: [mm] $x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}+(1+t)(x(t))^4=0 \gdw x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}=-(1+t)(x(t))^4$
[/mm]
Wir setzen: [mm] $p(t):=\frac{1}{1+t}, [/mm] q(t):=-(1+t), n=4$
[mm] $\Rightarrow u(t):=(x(t))^{1-n}=\frac{1}{(x(t))^3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow u'(t)=-3\frac{x'(t)}{(x(t))^4}$
[/mm]
Jetzt nehme ich:
[mm] $x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}=-(1+t)(x(t))^4 \qquad |*\frac{3}{(x(t))^4}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 3\frac{x'(t)}{(x(t))^4}+\frac{3}{1+t}*\frac{1}{(x(t))^3}=-3(1+t)$
[/mm]
[mm] $\gdw u'+\frac{3}{1+t}u=-3(1+t)$
[/mm]
Nun nehmen wir die lineare DGL 1. Ordnung:
[mm] $u'+\frac{3}{1+t}u=0$
[/mm]
Durch Trennung der Variablen erhalten wir:
[mm] $u=\frac{C}{(1+t)^3}$
[/mm]
[mm] $C\rightarrow [/mm] C(t)$
[mm] $\Rightarrow u=C(x)*\frac{1}{(1+t)^3}$
[/mm]
Setzten wir dies nun in unsere inhomogene lineare DGL ein, erhalten wir:
[mm] $C'(t)\frac{1}{(1+t)^3}=-3(1+t)\gdw C'(t)=-3*(1+t)^4$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow C(t)=-\frac{3}{5}(1+t)^5+C_1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow u(t)=-\frac{3(1+t)^5+C_1}{5(1+t)^3}=\frac{1}{(x(t))^3}\gdw (x(t))^3=-\frac{5(1+t)^3}{3(1+t)^5+C_1}\gdw x(t)=\sqrt[3]{-\frac{5(1+t)^3}{3(1+t)^5+C_1}}$
[/mm]
Passt das für die allgemeine Lösung?
Vielen Dank
LG
Dudi
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Hallo DudiPupan,
> So, zur c) habe ich nun folgendes:
> Wir haben: [mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}+(1+t)(x(t))^4=0 \gdw x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}=-(1+t)(x(t))^4[/mm]
>
> Wir setzen: [mm]p(t):=\frac{1}{1+t}, q(t):=-(1+t), n=4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u(t):=(x(t))^{1-n}=\frac{1}{(x(t))^3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u'(t)=-3\frac{x'(t)}{(x(t))^4}[/mm]
> Jetzt nehme
> ich:
> [mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}=-(1+t)(x(t))^4 \qquad |*\frac{3}{(x(t))^4}[/mm]
>
Hier musst Du doch mit [mm]\blue{-}\frac{3}{(x(t))^4}[/mm]
multiplizieren, um auf u' zu kommen.
> [mm]\Rightarrow 3\frac{x'(t)}{(x(t))^4}+\frac{3}{1+t}*\frac{1}{(x(t))^3}=-3(1+t)[/mm]
>
> [mm]\gdw u'+\frac{3}{1+t}u=-3(1+t)[/mm]
> Nun nehmen wir die lineare
> DGL 1. Ordnung:
> [mm]u'+\frac{3}{1+t}u=0[/mm]
> Durch Trennung der Variablen erhalten wir:
> [mm]u=\frac{C}{(1+t)^3}[/mm]
> [mm]C\rightarrow C(t)[/mm]
> [mm]\Rightarrow u=C(x)*\frac{1}{(1+t)^3}[/mm]
>
> Setzten wir dies nun in unsere inhomogene lineare DGL ein,
> erhalten wir:
> [mm]C'(t)\frac{1}{(1+t)^3}=-3(1+t)\gdw C'(t)=-3*(1+t)^4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow C(t)=-\frac{3}{5}(1+t)^5+C_1[/mm]
> [mm]\Rightarrow u(t)=-\frac{3(1+t)^5+C_1}{5(1+t)^3}=\frac{1}{(x(t))^3}\gdw (x(t))^3=-\frac{5(1+t)^3}{3(1+t)^5+C_1}\gdw x(t)=\sqrt[3]{-\frac{5(1+t)^3}{3(1+t)^5+C_1}}[/mm]
>
> Passt das für die allgemeine Lösung?
>
> Vielen Dank
> LG
> Dudi
>
Gruss
MathePower
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> Hallo DudiPupan,
Oh, natürlich!
Dann habe ich:
So, zur c) habe ich nun folgendes:
Wir haben: [mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}+(1+t)(x(t))^4=0 \gdw x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}=-(1+t)(x(t))^4[/mm]
Wir setzen: [mm]p(t):=\frac{1}{1+t}, q(t):=-(1+t), n=4[/mm]
[mm]\Rightarrow u(t):=(x(t))^{1-n}=\frac{1}{(x(t))^3}[/mm]
[mm]\Rightarrow u'(t)=-3\frac{x'(t)}{(x(t))^4}[/mm]
Jetzt nehme ich:
[mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}=-(1+t)(x(t))^4 \qquad |-*\frac{3}{(x(t))^4}[/mm]
[mm]\Rightarrow -3\frac{x'(t)}{(x(t))^4}-\frac{3}{1+t}*\frac{1}{(x(t))^3}=3(1+t)[/mm]
[mm]\gdw u'-\frac{3}{1+t}u=-3(1+t)[/mm]
Nun nehmen wir die lineare DGL 1. Ordnung:
[mm]u'+\frac{3}{1+t}u=0[/mm]
Durch Trennung der Variablen erhalten wir:
[mm]u=C(1+t)^3[/mm]
[mm]C\rightarrow C(t)[/mm]
[mm]\Rightarrow u(t)=C(t)*(1+t)^3[/mm]
[mm] $\Rightarrow u'(t)=C'(t)(1+t)^3+3C(t)(1+t)^2$
[/mm]
Setzten wir dies nun in unsere inhomogene lineare DGL ein, erhalten wir:
[mm]C'(t)(1+t)^3=3(1+t)\gdw C'(t)=\frac{3}{(1+t)^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow C(t)=-3\frac{1}{1+t}+C_1[/mm]
[mm]\Rightarrow u(t)=C_1(1+t)^3-3(1+t)^2=\frac{1}{(x(t))^3}\gdw (x(t))^3=-\frac{1}{C_1(1+t)^3-3(1+t)^2}\gdw x(t)=\frac{1}{\sqrt[3]{C_1(1+t)^3-3(1+t)^2}[/mm]
Jedoch scheint auch diese Lösung nicht ganz zu passen.
Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank
LG
Dudi
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DudiPupan,
> > Hallo DudiPupan,
> Oh, natürlich!
> Dann habe ich:
>
> So, zur c) habe ich nun folgendes:
> Wir haben: [mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}+(1+t)(x(t))^4=0 \gdw x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}=-(1+t)(x(t))^4[/mm]
>
> Wir setzen: [mm]p(t):=\frac{1}{1+t}, q(t):=-(1+t), n=4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u(t):=(x(t))^{1-n}=\frac{1}{(x(t))^3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u'(t)=-3\frac{x'(t)}{(x(t))^4}[/mm]
> Jetzt nehme
> ich:
> [mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t}=-(1+t)(x(t))^4 \qquad |-*\frac{3}{(x(t))^4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -3\frac{x'(t)}{(x(t))^4}-\frac{3}{1+t}*\frac{1}{(x(t))^3}=3(1+t)[/mm]
>
> [mm]\gdw u'-\frac{3}{1+t}u=-3(1+t)[/mm]
> Nun nehmen wir die lineare
> DGL 1. Ordnung:
> [mm]u'+\frac{3}{1+t}u=0[/mm]
> Durch Trennung der Variablen erhalten wir:
> [mm]u=C(1+t)^3[/mm]
> [mm]C\rightarrow C(t)[/mm]
> [mm]\Rightarrow u(t)=C(t)*(1+t)^3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u'(t)=C'(t)(1+t)^3+3C(t)(1+t)^2[/mm]
> Setzten wir
> dies nun in unsere inhomogene lineare DGL ein, erhalten
> wir:
> [mm]C'(t)(1+t)^3=3(1+t)\gdw C'(t)=\frac{3}{(1+t)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow C(t)=-3\frac{1}{1+t}+C_1[/mm]
> [mm]\Rightarrow u(t)=C_1(1+t)^3-3(1+t)^2=\frac{1}{(x(t))^3}\gdw (x(t))^3=-\frac{1}{C_1(1+t)^3-3(1+t)^2}\gdw x(t)=\frac{1}{\sqrt[3]{C_1(1+t)^3-3(1+t)^2}[/mm]
>
> Jedoch scheint auch diese Lösung nicht ganz zu passen.
Die Lösung passt.
> Wo liegt mein Fehler?
> Vielen Dank
> LG
> Dudi
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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Hallo DudiPupan,
> Bestimmen Sie Lösungen zu folgenden
> Differentialgleichungen:
> a) [mm]x'(t)=\frac{\sin{(t)}}{\cos{(x(t))}}, x(0)=1,[/mm]
> b)
> [mm]x'(t)=(t-x(t)+3)^2 , x(0)=1[/mm]
> c) [mm]x'(t)+\frac{x(t)}{1+t} +(1+t)(x(t))^4=0, x(0)=-1[/mm]
>
> d) [mm]x'(t)=(1-t)(x(t))^2+(2t-1)x(t)-t, x(0)=0[/mm]
> Guten Abend,
> ich muss diese Aufgabe lösen und stehe etwas auf dem
> Schlauch.
>
> Also die a) war kein Problem.
> Einfach durch Trennung der Variablen, so erhalte ich:
> [mm]x(t)=\arcsin(1+\sin(1)-\cos(t))[/mm]
>
> Jedoch habe ich bei den restlichen ein wenig Probleme.
>
> Kann mir hier vielleicht jemand etwas auf die Sprünge
> helfen?
>
Finde eine Lösung der DGL in Aufgabe d).
Die Lösung ist eine Konstante.
Dann kannst Du nämlich diese sogenannte Riccatisch DGL
auf eine Bernoullische DGL zurückführen.
Ist u(t) eine Lösung dieser DGL, dann führt der Ansatz
[mm]x\left(t\right)=z(\left(t\right)+u(\left(t\right)[/mm]
auf eine Bernoullische DGL für z(t).
> Vielen Dank
> Dudi
Gruss
MathePower
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