DGL (Problem: Jordanzerlegung? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mo 02.05.2005 | | Autor: | tobi.m |
Hallo,
ich soll folgende Differentialgleichung lösen:
[mm] x^{'''}-x^{''}+4x^{'}-4x=0
[/mm]
dazu habe ich folgendes gemacht:
[mm] z_{1}=x
[/mm]
[mm] z_{2}=x^{'}
[/mm]
[mm] z_{3}=x^{''}
[/mm]
[mm] z_{4}=x^{'''}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{4}-z_{3}+4z_{2}-4z_{1}=0
[/mm]
[mm] z_{1}^{'}=z_{2}
[/mm]
[mm] z_{2}^{'}=z_{3}
[/mm]
[mm] z_{3}^{'}=z_{4}
[/mm]
[mm] z_{4}^{'}=z_{4}-4z_{3}+4z_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z^{'}=Az [/mm] mit
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -4 & 1 }
[/mm]
Um dies zu lösen brauche ich die Jordanzerlegung dieser Matrix (A = S +N, mit S diagonalisierbar, N nilpotent).
Dann ist [mm] e^{At}=e^{St}*e^{Nt} [/mm] womit ich die allg. Lösung bestimmen kann.
Mein Problem ist, das ich nicht weiß wie ich hier auf die Jordanzerlegung komme. Ich bin mir aber auch nicht sicher ob das was ich bis jetzt gemacht habe so richtig ist.
Für den der mir hier helfen kann schon mal n großes Dankeschön im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> [mm]x^{'''}-x^{''}+4x^{'}-4x=0[/mm]
>
> dazu habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm]z_{1}=x[/mm]
> [mm]z_{2}=x^{'}[/mm]
> [mm]z_{3}=x^{''}[/mm]
> [mm]z_{4}=x^{'''}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_{4}-z_{3}+4z_{2}-4z_{1}=0[/mm]
>
> [mm]z_{1}^{'}=z_{2}[/mm]
> [mm]z_{2}^{'}=z_{3}[/mm]
> [mm]z_{3}^{'}=z_{4}[/mm]
bis hierhin stimmts.
> [mm]z_{4}^{'}=z_{4}-4z_{3}+4z_{2}[/mm]
>
Statt dessen muß hier stehen:
[mm]z_{3}^{'}=z_{4}=z_{3}-4z_{2}+4z_{1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow z^{'}=Az[/mm] mit
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -4 & 1 }[/mm]
Ergo ergibt sich die Matrix A zu
A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 1 }[/mm]
Und hiervon läßt sich das charakteristische Polynom bestimmen.
Daraus ergeben sich dann die Eigenwerte. Unmittelbar aus den Eigenwerten ergibt sich die Jordan-Normalform.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Di 03.05.2005 | | Autor: | tobi.m |
> > [mm] z_{4}^{'}=z_{4}-4z_{3}+4z_{2}
[/mm]
> >
>
> Statt dessen muß hier stehen:
>
> [mm] z_{3}^{'}=z_{4}=z_{3}-4z_{2}+4z_{1}
[/mm]
Mir ist nicht klar warum hier folgendes nicht gilt:
[mm] z_{4}=z_{3}-4z_{2}+4z_{1} \Rightarrow z_{4}^{'}=z_{3}^{'}-4z_{2}^{'}+4z_{1}^{'}=z_{4}-4z_{3}+4z_{2}
[/mm]
Gruß und Dank
Tobias
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Hallo Tobi,
Deine Gleichung stimmt zwar, aber bedenke auch, dass [mm] $z_{4}^{'}=x^{''''}$ [/mm] ist, was in der Dgl nicht vorkommt. Die erste Spalte Deiner Matrix enthält nur Nullen, also kommt [mm] $z_1 [/mm] = x$ in Deiner Matrizenformulierung der Dgl nicht mehr vor. Kurz: Du hast damit die ursprüngliche Dgl noch einmal differenziert.
Die Lösungen, die man mit den beiden Matrizen erhält, werden sich also vermutlich um eine Konstante unterscheiden (hab' ich aus lauter Faulheit nicht überprüft).
Grüße,
Peter
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