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| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der DGL
[mm] $x'=-\bruch{x}{t}+1$
[/mm]
Fertige eine Skizze einiger Lösungen in der $(t,x)$ Ebene an. |
Hallo,
die allgemeine Lösung konnte ich schon berechnen, die lautet:
$x = [mm] \bruch{2c+t^2}{2t}$
[/mm]
Wie skizziere ich das nun?
Ich wollte daraus eine Funktionsgleichung machen:
[mm] $\bruch{2c+t^2}{2t} [/mm] = 0$ nun multipliziere ich die Gleichung mit $2t$
[mm] $2c+t^2 [/mm] = 0$
$2c = [mm] -t^2$
[/mm]
$c = [mm] -\bruch{t^2}{2}$
[/mm]
Nur kommt bei dieser Funktion ein ganz anderer Graph heraus als bei der Ausgangsfunktion [mm] $\bruch{2c+t^2}{2t}=0$. [/mm] Was mach ich falsch?
Lg
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Hallo!
Die Skizze besteht doch nun einfach aus einem Graphen, bei dem horizontal t und vertikal x(t) aufgetragen ist. Deine Formel
$ x = [mm] \bruch{2c+t^2}{2t} [/mm] $
ist doch bereits die Funktionsgleichung, du kannst dir hier noch ein c aussuchen.
Was genau möchtest du mit deiner weiteren Rechnung erreichen?
Im Prinzip bestimmst du da nur die Nullstellen der Funktion, sprich für welches c die Funktion wo ihre Nullstelle hat.
Genauso könntest du in der Funktionsgleichung t=0 setzen, und damit die Schnittpunkte mit der vertikalen Achse abhängig von c bestimmen.
Im Prinzip kannst du auf diese weise für jedes c zwei Punkte angeben, durch die die Lösungskurve verlaufen muß.
Aber... wie sieht denn die Funktion $ x = [mm] \bruch{2c+t^2}{2t} [/mm] $ etwa aus? Das solltest du erkennen! (splitte den Bruch mal in die zwei Summanden auf!)
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Ich danke dir!
Ist doch schon ein etwas längerer Mathetag...
Nunja augesplitted schauts so aus:
$x(t) = [mm] \bruch{c}{t}+\bruch{t}{2}$
[/mm]
Das heißt ich habe Hyperbelfunktion [mm] $\bruch{c}{t}$ [/mm] und eine Geradenfunktion [mm] $\bruch{t}{2}$.
[/mm]
Nur wie schaun beide Funktionen vereint aus?
Ist die Gerade eventuell eine Asymptote der der Hyperbel?
Lg
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Hallo!
Das ist völlig korrekt. Du bekommst eine Funktion der Gestalt [mm] x=\frac{1}{t} [/mm] , die als Asymptote diese Grade statt der horizontalen Achse hat.
(Nebenbei heißt das
1.: die Nullstellen, die du eingangs berechnen wolltest, existieren nur für negative c
2.: Meine Sache mit den Schnittpunkten mit der vertikalen Achse ist natürlich quatsch, die gibt es hier ja nicht)
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Ich danke dir für deine Hilfe!
Nun ists mir klar.
Lg
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