DGL: Trennung von Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 29.07.2007 | | Autor: | pyro |
Hallo!
Habe eine kleine Verständnisfrage...
Habe hier aufgeschrieben: Eine homogene lineare DGL 1. Ordnung [mm]y'+f(x)*y=0[/mm] lässt sich durch Trennung der Variablen wie folgt lösen[...].
Letzendlich wird unter anderem folgendes Integral gelöst:
[mm]\int_{}^{} \bruch{1}{y}\, dy[/mm].
Heraus kommt dann [mm]ln \left| y \right|[/mm]
Mitt [mm]e[/mm] Funktion bekommt man dann nachher die Lösung der DGL heraus, also [mm]y(x)=...[/mm].
So.
Nun meine Frage:
y ist doch eigentlich eine Funktion von x. Wieso wird dann aus dem Integral 1/y -> ln(y)? Ich denke y ist abhängig von x, wieso wird es integriert als ob es eine einzelne Zahl ist?
Bin über Hilfe dankbar....
gruß
pyro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 So 29.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das liegt daran, dass nach y und nicht nach x integriert wird.
Man hat ja:
y´=-f(x)y
dy/dx=-f(x)y
dy/y=-f(x)dx
Und jetzt wird auf beiden Seiten integriert.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 29.07.2007 | | Autor: | pyro |
Aber wenn ich ich das Integral so löse:
[mm]\int_{}^{}\bruch{1}{y(x)} \, dy[/mm] kommt doch nicht mehr ln|y| heraus? Dann kommt als Lösung doch [mm]\bruch{y}{y(x)}[/mm]heraus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 29.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
nein warum denn?
Wenn du 1/y nach y integrierst, kommt In IyI heraus.
Wenn du nach x integrieren möchtest, weil ja y von x abhängt, musst du das mit der Substitutionsregel machen:
[mm] \integral{dy(x)/y(x)}=\integral{y´(x)/y(x) dx}=In [/mm] Iy(x)I
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 29.07.2007 | | Autor: | pyro |
Achso das heißt ich integriere eigentlich nach y(x) und nicht nach y?
Ich hatte wie folgt überlegt: Ich integriere nach dy, also nach y. Im Nenner steht y(x), also letztendlich x. Dann ist das also falsch, sondern man lässt bei beiden nur das (x) weg, also y statt y(x)? Oder wie? Das bringt mich ganzschön durcheinander... Woher weiß ich dann wann es abhängig von x ist, und wann es nur weggelassen wurde beim Aufschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 29.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das ist beides das gleiche.
Hier steht dy, es wird also nach y integriert. Im Integranden steht auch nur y.
Jetzt kann man sich überlegen: y hängt von x ab, denn y=y(x). Dann hängt aber auch das Differential von x ab dy=d(y(x))=y´(x)dx. Im Integranden steht dann also: 1/y(x)*y´(x)dx
Falsch wäre folgendes zu denken: y hängt von x ab, also kann man es wie einen Skalar vor das Integral ziehen.
Das ist falsch, denn wenn man y also von x abhängige Variable ansieht, hängt auch dy von x ab (s.o.).
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 29.07.2007 | | Autor: | pyro |
Aaaah!
Ich denke jetzt ist es mir klar, hat mir sehr weitergeholfen diese Betrachtung. Werde jetzt mal ein paar Übungen machen, aber mit deiner Hilfe müsste es ja jetzt gut klappen.
Vielen vielen Dank, hab da schon die ganze Zeit drüber nachgedacht...
pyro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 So 29.07.2007 | | Autor: | Hund |
Gern geschehen^^
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