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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 So 14.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] y^{,,}+6y^{,}+9y=2e^{-3x}
[/mm]
mit der Hilfe der Methode von Variation der Konstanten und lösen Sie die Differentialgleichung unter der Anfangsbedingung [mm] y(1)=y^{,}(1)=e^{-3x}. [/mm] |
Hallo lieber Matheraum,
über eine Korrekturlesung bezüglich dieser Aufgabe würde ich mich auch sehr freuen.
1.) Ermittlung der Nullstellen der charakteristischen Gleichung liefert:
[mm] \lambda^{2}+6\lambda+9=0, [/mm] mit [mm] \lambda_{1,2}=-3 [/mm] als doppelte Nullstelle.
2.) Das Lösungsfundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung lautet also:
[mm] e^{-3x}, xe^{-3x} [/mm] und
[mm] y_{H}=e^{-3x}(c_{1}+xc_{2})
[/mm]
3.) Zur Berechnung einer speziellen Lösung setzen wir folgendermaßen an:
[mm] y_{S}=c_{1}(x)e^{-3x}+c_{2}(x)xe^{-3x} [/mm]
Wir stellen die Wronski- Matrix auf und erhalten:
[mm] \pmat{ e^{-3x} & xe^{-3x} \\ -3e^{-3x} & e^{-3x}(1-3x) }\vektor{c_{1}^{,} \\ c_{2}^{,}}=\vektor{0 \\ 2e^{-3x}}
[/mm]
3.) Durch Lösen der Integrale erhalte ich
für [mm] c_{1}(x)=-x^{2} [/mm] und
für [mm] c_{2}(x)=2x
[/mm]
Da wir hier nur eine spezielle Lösung suchen, können wir die Integrationskonstanten gleich 0 wählen.
Wir erhalten also
[mm] y_{S}=\bruch{1}{e^{3x}}x^{2}
[/mm]
4.) Gemäß [mm] y=y_{S}+y_{H} [/mm] erhalten wir
[mm] y=\bruch{1}{e^{3x}}(x^{2}+c_{1}+xc_{2})
[/mm]
5.) Zur Lösung des Anfangswertproblems bestimmen wir [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] und erhalten:
[mm] y^{,}(x)=e^{-3}(-3x^{2}+3c_{1}+3xc_{2}+2x+c_{2})
[/mm]
Einsetzen liefert
[mm] y(1)=e^{-3}\Rightarrow c_{1}=-c_{2} [/mm] und
[mm] y^{,}(1)\Rightarrow -3c_{1}-2c_{2}=2
[/mm]
6.) Das somit enstehende Gleichungssstem liefert final
[mm] c_{1}=-2 [/mm] und
[mm] c_{2}=2
[/mm]
7.) Die Lösung des Anfangswertproblems lautet also:
[mm] y(x)=\bruch{1}{e^{3x}}(x^{2}+2x-2)
[/mm]
Ich bedanke mich recht herzlich. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>
> [mm]y^{,,}+6y^{,}+9y=2e^{-3x}[/mm]
>
> mit der Hilfe der Methode von Variation der Konstanten und
> lösen Sie die Differentialgleichung unter der
> Anfangsbedingung [mm]y(1)=y^{,}(1)=e^{-3x}.[/mm]
> Hallo lieber Matheraum,
>
> über eine Korrekturlesung bezüglich dieser Aufgabe würde
> ich mich auch sehr freuen.
>
>
>
> 1.) Ermittlung der Nullstellen der charakteristischen
> Gleichung liefert:
>
>
> [mm]\lambda^{2}+6\lambda+9=0,[/mm] mit [mm]\lambda_{1,2}=-3[/mm] als doppelte
> Nullstelle.
>
>
>
> 2.) Das Lösungsfundamentalsystem der homogenen
> Differentialgleichung lautet also:
>
>
> [mm]e^{-3x}, xe^{-3x}[/mm] und
>
> [mm]y_{H}=e^{-3x}(c_{1}+xc_{2})[/mm]
>
>
>
> 3.) Zur Berechnung einer speziellen Lösung setzen wir
> folgendermaßen an:
>
>
> [mm]y_{S}=c_{1}(x)e^{-3x}+c_{2}(x)xe^{-3x}[/mm]
>
>
>
> Wir stellen die Wronski- Matrix auf und erhalten:
>
>
> [mm]\pmat{ e^{-3x} & xe^{-3x} \\ -3e^{-3x} & e^{-3x}(1-3x) }\vektor{c_{1}^{,} \\ c_{2}^{,}}=\vektor{0 \\ 2e^{-3x}}[/mm]
>
>
>
> 3.) Durch Lösen der Integrale erhalte ich
>
>
> für [mm]c_{1}(x)=-x^{2}[/mm] und
>
> für [mm]c_{2}(x)=2x[/mm]
>
>
> Da wir hier nur eine spezielle Lösung suchen, können wir
> die Integrationskonstanten gleich 0 wählen.
>
>
>
> Wir erhalten also
>
>
> [mm]y_{S}=\bruch{1}{e^{3x}}x^{2}[/mm]
>
>
>
> 4.) Gemäß [mm]y=y_{S}+y_{H}[/mm] erhalten wir
>
>
> [mm]y=\bruch{1}{e^{3x}}(x^{2}+c_{1}+xc_{2})[/mm]
>
>
>
> 5.) Zur Lösung des Anfangswertproblems bestimmen wir
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] und erhalten:
>
>
> [mm]y^{,}(x)=e^{-3}(-3x^{2}+3c_{1}+3xc_{2}+2x+c_{2})[/mm]
>
Da hast Du Dich wohl verschrieben:
[mm]y^{,}(x)=e^{-3}(-3x^{2}\red{-}3c_{1}\red{-}3xc_{2}+2x+c_{2})[/mm]
>
> Einsetzen liefert
>
>
> [mm]y(1)=e^{-3}\Rightarrow c_{1}=-c_{2}[/mm] und
>
> [mm]y^{,}(1)\Rightarrow -3c_{1}-2c_{2}=2[/mm]
>
>
>
> 6.) Das somit enstehende Gleichungssstem liefert final
>
>
> [mm]c_{1}=-2[/mm] und
>
> [mm]c_{2}=2[/mm]
>
>
>
> 7.) Die Lösung des Anfangswertproblems lautet also:
>
>
> [mm]y(x)=\bruch{1}{e^{3x}}(x^{2}+2x-2)[/mm]
>
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ich bedanke mich recht herzlich. Gruß,
>
>
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>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:52 Di 16.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Danke schön!
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