DGL als System schreiben < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | x'' + rx' + sinx = 0, x [mm] \in \IR
[/mm]
r [mm] \ge [/mm] 0
Schreiben Sie die DG als System 1.Ordnung und bestimmen Sie die Ruhelagen des Systems. |
Ich bin mir unsicher bei der Transformation in ein System 1.Ordnung, also ich würde das so machen
y1=x y1'=y2
y2=x' y2'=-rx'-sinx=-r*y2-sin(y1)
würde das stimmen?
und
[mm] \vektor{y1 \\y2}=:y, [/mm] y'= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -cos(y1) & -r } [/mm] ???
ich bin mir wegen dem Sin/Cos total unsicher....
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Do 22.11.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> x'' + rx' + sinx = 0, x [mm]\in \IR[/mm]
> r [mm]\ge[/mm] 0
> Schreiben Sie die DG als System 1.Ordnung und bestimmen Sie
> die Ruhelagen des Systems.
>
> Ich bin mir unsicher bei der Transformation in ein System
> 1.Ordnung, also ich würde das so machen
>
> y1=x y1'=y2
> y2=x' y2'=-rx'-sinx=-r*y2-sin(y1)
>
> würde das stimmen?
Ja, das ist so in Ordnung.
> und
> [mm]\vektor{y1 \\y2}=:y,[/mm] y'= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -cos(y1) & -r }[/mm]
> ???
>
> ich bin mir wegen dem Sin/Cos total unsicher....
>
Da [mm] cos(y_1) [/mm] auftritt, ist dies eine nichtlineare Dgl. und die Umformung ist mit der obigen Form erledigt.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | *) Was kann man über die Stabilität der Ruhelagen für die nichtlineare
DG aussagen? |
Vielen dank für die Antwort, und für die Ruhelagen habe ich nur
[mm] \vektor{y1 \\ y2}=\vektor{k*\pi \\ 0}, [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] wäre das alles oder habe ich etwas vergessen?
kann mir jemand bei der Beantwortung der oben gestellte Frage , helfen? Ich verstehe die nicht richtig..
|
|
|
| |
|
> *) Was kann man über die Stabilität der Ruhelagen für
> die nichtlineare
> DG aussagen?
> Vielen dank für die Antwort, und für die Ruhelagen habe
> ich nur
> [mm]\vektor{y1 \\ y2}=\vektor{k*\pi \\ 0},[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] wäre das
> alles oder habe ich etwas vergessen?
>
> kann mir jemand bei der Beantwortung der oben gestellte
> Frage , helfen? Ich verstehe die nicht richtig..
Hallo Inocencia,
die Ruhelagen hast du richtig bestimmt.
Die vorherige Schreibweise des DGL-Systems in
Matrixform war allerdings nicht korrekt.
Ich habe einfach u(t):=x'(t) gesetzt (anstatt
Variablen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] einzuführen). Mein DGL-System
in Matrixform sah dann so aus:
[mm] $\pmat{x(t)\\u(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0&1\\0&-r}\ [/mm] *\ [mm] \pmat{x(t)\\u(t)}\ [/mm] +\ [mm] \pmat{0\\-sin(x(t))}$
[/mm]
Ein Cosinus kommt da nicht vor.
Die Sache mit der Stabilität der Ruhelagen habe ich
mir jetzt allerdings auch noch nicht klar gemacht.
Dazu müsste man sich überlegen, wie sich eine
kleine Auslenkung aus einer Ruhelage auswirkt:
pendelt das System zurück oder gibt es eine
positive Rückkopplung, welche das System aus dem
Gleichgewicht bringt ?
Dazu habt ihr vermutlich eine Methode bereitgestellt ...
LG, Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
> x'' + rx' + sinx = 0, x [mm]\in \IR[/mm]
> r [mm]\ge[/mm] 0
> Schreiben Sie die DG als System 1.Ordnung und bestimmen Sie
> die Ruhelagen des Systems.
Hallo Inocencia,
ich möchte hier nur die Angabe " [mm] x\in\IR [/mm] " in der
Aufgabenstellung kritisieren: sie ist unsinnig !
Die gesuchten Lösungen x sind nicht reelle Zahlen,
sondern reelle Funktionen einer (nicht bezeichneten)
reellen Variablen, die wir z.B. t nennen können.
Wenn man also schon etwas in der Art schreiben
möchte, so wäre dies
nicht [mm] x\in\IR
[/mm]
sondern [mm] x\in\IR^{\IR}
[/mm]
wobei dann natürlich nur die zweimal differenzier-
baren x in Frage kommen, also könnte man auch
schreiben:
$\ [mm] x\in C^2(\IR)$
[/mm]
LG, Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Do 22.11.2012 | | Autor: | Inocencia |
@Al-Chwarizmi:
Vielen dank für die Ausführung! mir ist das auch etwas komisch vorgekommen, aber das steht genau so in der Angabe, also ich habe mich nicht vertippt. Auf jeden Fall danke für die Richtigstellung :)
|
|
|
|
