DGL erster ORdnung mit Betrag < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme alle Lösungen der DGL:
[mm] y' = 2 \wurzel{\vmat{y}(1-y)} [/mm] [mm] y\le 1 [/mm]
Auf jeden Fall fertige man eine Skizze an und bestimme die Menge aller Punkte für welche das Anfangswertproblem nicht lokal eindeutig lösbar ist. |
Hallo zusammen,
habe bei der Aufgabe ein paar Probleme. Zunächst meine Überlegungen.
Mit TdV komme ich auf
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{\vmat{y}(1-y)}} dy} = \integral_{}^{}{ 2 dx} [/mm]
Betrachte die Fälle [mm] y=0 , y=1 [/mm] :
Für beide Fälle ist die DGL lösbar mit : [mm] y\equiv0 [/mm] und [mm] y\equiv1 [/mm]
Der Fall [mm] y> 1 [/mm] ist nach Aufgabenstellung ausgeschlossen. Also betrachte zunächst den Bereich für [mm] 0
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{y(1-y)}} dy} = \integral_{}^{}{ 2 dx} [/mm]
Hier bietet mir Wolfram für den linken Teil
[mm] \bruch{2 \wurzel{y-1}\wurzel{y}log (\wurzel{y-1}+ \wurzel{y})}{\wurzel{-(y-1)y}} [/mm]
Hier komme ich dann einfach nicht weiter. Für VdK müsste ich nach y auflösen, das übersteigt aber meine derzeitigen Fähigkeiten.
Lasse ich die exp-Funktion drüber laufen folgt:
[mm] e^{2 \wurzel{y-1}\wurzel{y}}(\wurzel{y-1}+ \wurzel{y})=e^{2x+c} e^{\wurzel{-(y-1)y}} [/mm]
Hier wäre ich über einen Tipp dankbar. War ich eventuell vorher schon auf dem Holzweg?
Vielen Dank.
Liebe Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Di 21.11.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. welche Lösungen hat denn die Dgl ausser dem Integral, dadurch findest du die anfangsbestand. mit mehr als 1 Lösung.
2. unter der Wurzel quadratische Ergänzung und danach Substitution mit sinh
Gruß leduart
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