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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SirTech |
| Aufgabe | | y' * [mm] \wurzel{a^{2}+x^{2}} [/mm] = y |
Ich trenne die Variablen:
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{\wurzel{a^{2}+x^{2}}}
[/mm]
Dann Integriere ich beide Seiten, wobei ich die rechte Seite aber substituieren muss:
[mm] \integral {\bruch{dy}{y}} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{dx}{\wurzel{a^{2}+x^{2}}}}
[/mm]
[mm] \integral {\bruch{dy}{y}} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{1}{u} dx} [/mm] mit u = [mm] \wurzel{a^{2}+x^{2}} [/mm]
u = [mm] (a^{2}+x^{2})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
u' = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] =>
du = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (a^{2}+x^{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] + 2x dx
So und ab hier weiß ich nicht weiter.
Wenn ich nun in das Integral für du mein Ergebnis von " [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (a^{2}+x^{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] + 2x dx " einsetze, dann wird das Integral ja total unübersichtlich. Andererseits, wenn ich mit [mm] \bruch [/mm] {1}{u} integriere und dann ln |u| mache und dann für u mein Ergebnis einsetze, dann hätte ich ja noch das dx dort stehen. Wenn ich das dx weglassen würde und die Rechnung mit ln | [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (a^{2}+x^{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] + 2x| fortsetze, dann bekomme ich das korrekte Ergebnis.
Frage ist also, wie substituiere ich hier korrekt?
PS: Ich möchte es mit Substitution lösen und nicht mit einem speziellen Integral, dass wäre zwar leichter, ist hier aber nicht die Aufgabe gewesen.
Danke im Voraus!
Gruß -SirTech
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Hallo SirTech!
> du = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](a^{2}+x^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm] + 2x dx
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das letzte Pluszeichen ist falsch. Dort muss ein Malpunkt hin.
Ansonsten führt hier folgende Substitution zum Ziel:
$$x \ := \ [mm] a*\sinh(u)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SirTech |
Stimmt!
Aber das beantwortet ja trotzdem nicht meine Frage.
Ich weiß nicht wie ich die Substitution weiterführe ... ich habe ja nun:
du = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](a^{2}+x^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm] * 2x dx
Wie verfahre ich weiter mit dem Integral? Setze ich nun für 1/u nach du für das du mein " [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](a^{2}+x^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm] * 2x dx " und für das u wieder mein [mm] (a^{2}+x^{2}) [/mm] ein und integriere dann? Wäre ja quatsch.
Oder integriere ich 1/u = ln |u| und setze für das u mein " [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](a^{2}+x^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm] * 2x dx " ohne das dx ein weil ich das dx vernachlässigen kann?
Stehe gerade wirklich total auf dem Schlauch!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mo 25.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich sollte die Frage geklaert sein.
du kannst sicher NICHT 1/udx zu lnu integrieren.
also musst du dx durch du ersetzen.
Dann kommst du bei deiner Subst. aber auf ein schlimmeres integral als am Anfang.
Folgerung: die Subst. ist -wenn richtig ausgefuehrt - also mit du statt dx nicht falsch, aber schlecht gewaehlt, weil sie nix bringt.
Die Substitution u=f(x) oder u=1/f(x) (f(x) der Integrand, bringt meist nichts sinnvolles.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SirTech |
Ergo bleibt mir eigentlich gar nichts anderes übrig, als das spezielle Integral von:
[mm] \integral \bruch{dx}{\wurzel{a^{2}+x^{2}}} [/mm] = ln (x + [mm] \wurzel{a^{2}+x^{2}})
[/mm]
zu verwenden, richtig?
Wäre in der Klausur dann hoffentlich auch korrekt, ohne das ich die Substitution anwende. Ansonsten hätte ich die Substitution in diesem Fall auch verstanden.
Gruß -SirTech
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Hallo,
deinem post ist jetzt schwerlich zu entnehmen, ob Du obige Hinweise verstanden hast.
[mm] $\int \frac{1}{\wurzel{a^2+x^2}}\;dx$
[/mm]
x=a*sinh(u)
dx=a*cosh(u)du
[mm] $\int \frac{a*cosh(u)}{\wurzel{a^2+(a*sinh(u))^2}}\;du$
[/mm]
[mm] $\int \frac{a*cosh(u)}{a*cosh(u)}\;du$
[/mm]
[mm] $\int \;du=u+C=arsinh\left(\frac{x}{a}\right)+C$
[/mm]
LG, Martinius
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